逆べき乗法

逆べき乗法：絶対値最小の固有値を求める手法

逆べき乗法とは、正則行列の固有値のうち、絶対値が最小のものを求めるための数値計算手法です。これは、行列の逆行列を用いて、反復計算によって最小の固有値とその固有ベクトルを近似的に求める方法です。

手法の概要

まず、n×nの正則行列Aを考えます。逆べき乗法では、適切な初期ベクトルy(0)から出発し、以下の漸化式を反復的に計算します。

y(k) = A⁻¹y(k-1)

ここで、A⁻¹はAの逆行列です。この反復計算を繰り返すことで、ベクトルy(k)はAの絶対値最小の固有値λnに対応する固有ベクトルに収束していきます。

収束判定は、以下の式を用いて行います。

lim (k→∞) [y(k)ᵀy(k) / y(k)ᵀy(k-1)] = 1/λn

この式において、y(k)ᵀはy(k)の転置ベクトルを表します。kが十分大きくなった際に、この式の値が収束すれば、その逆数が絶対値最小の固有値λnとなります。

べき乗法との関連性

逆べき乗法は、絶対値最大の固有値を求めるためのべき乗法と密接な関係があります。べき乗法は、以下の漸化式を用います。

x(k) = Ax(k-1)

この式を繰り返し適用することで、ベクトルx(k)はAの絶対値最大の固有値に対応する固有ベクトルに収束します。逆べき乗法は、行列Aの逆行列A⁻¹に対してべき乗法を適用していると考えられます。そのため、逆べき乗法の収束性の証明は、べき乗法の収束性の証明と同様の方法で行うことができます。

計算手順

1. 初期ベクトルy(0)の設定: 適当な初期ベクトルy(0)を選択します。
2. 逆行列の計算: 行列Aの逆行列A⁻¹を計算します。この計算には、LU分解やガウス・ジョルダン法などの数値計算手法が用いられます。
3. 反復計算: 漸化式y(k) = A⁻¹y(k-1)を繰り返し適用します。
4. 収束判定: 式lim (k→∞) [y(k)ᵀy(k) / y(k)ᵀy(k-1)] = 1/λnを用いて、収束を確認します。収束しない場合は、さらに反復計算を続けます。
5. 固有値と固有ベクトルの出力: 収束したら、絶対値最小の固有値λnとその固有ベクトルy(k)を出力します。

適用例と注意点

逆べき乗法は、固有値問題を解く上で有用な手法であり、工学や物理学など様々な分野で応用されています。ただし、行列Aが特異行列（逆行列が存在しない行列）の場合には、この手法は適用できません。また、固有値が絶対値において非常に近い場合、収束が遅くなる可能性があります。さらに、逆行列の計算は計算コストがかかるため、行列のサイズが非常に大きい場合は、効率的な手法を選択する必要があります。

まとめ

逆べき乗法は、正則行列の絶対値最小の固有値とその固有ベクトルを求めるための強力な数値計算手法です。べき乗法との関連性も理解することで、より深くこの手法を理解することができるでしょう。具体的な計算手順と注意点を押さえ、適切な場面で活用することで、数値解析の精度向上に貢献します。

参考文献

伊理正夫、藤野和建『数値計算の常識』共立出版。

関連項目

固有値問題、べき乗法

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