アインシュタインの縮約記法

アインシュタインの縮約記法について

アインシュタインの縮約記法（Einstein summation convention）は、物理学や数学において非常に重要な役割を果たす表記法です。この記法は、同じ添字が重なる場合、その添字に関して和を取ることを定めたものです。重なる添字を「擬標」または「ダミーの添字」、重ならない添字を「自由標」または「フリーの添字」と呼びます。アインシュタインが1916年に提唱したこの記法は、特に一般相対性理論や量子力学、連続体力学、有限要素法などで非常に有用です。

縮約記法の基本ルール

この縮約記法の基本的なルールは、同じ添字がある場合にはその添字に沿って和を求めることです。たとえば、4次元空間において2つのベクトルaμとbμの内積は「aμ bμ」と表記されます。これは具体的に

$$
a^{
u}b_{
u} = a^{1}b_{1} + a^{2}b_{2} + a^{3}b_{3} + a^{4}b_{4}$$

を意味し、添字が一致するすべての成分を足し合わせることを示しています。

さらに、曲がった時空におけるベクトルの内積は、計量gμνを考慮に入れることで次のように表現されます。

$$
a^{
u}b_{
u} = g_{
u
ho} a^{
u} b^{
ho} = extstyleigg( extstyleigg extstyle extstyleigg extstyle igg)$$

このように、縮約記法を用いることで、多次元の表記が簡潔になり、計算がスムーズになります。

記法の適用例

アインシュタインの記法は、特急相対性理論などで非常に重要です。特に、ミンコフスキー空間における内積は、計量がημν = diag(1, -1, -1, -1)であるという前提のもとに次のように表されます。

$$
a^{
u}b_{
u} = a^{0}b^{0} - a^{1}b^{1} - a^{2}b^{2} - a^{3}b^{3}$$

この記法を用いることで、多次元の計算を効率的に行うことが可能になります。

計量・座標変換

アインシュタインの縮約記法における重要な特性として、上下に同じ添字がついている場合、その添字に対する和（縮約）は座標変換に関係なく計算できる点があります。これは、上付き添字の変数が反変性を持ち、下付き添字の変数が共変性を持つためです。また、自由標は式の両辺や各項で同じである必要があり、これにより数式の変形や代入が行いやすくなります。

このように、アインシュタインの縮約記法は多くの数理的・物理的応用において不可欠な手法であり、さまざまな分野で広く利用されています。彼はこの記法を自身の「数学における最大の発見」と冗談交じりに表現したと言われています。縮約記法を習得することで、理論物理の理解がさらに深まることでしょう。

もう一度検索