アインシュタイン・カルタン理論

アインシュタイン・カルタン理論は、理論物理学における古典的な重力理論の一つで、一般相対性理論の代替候補としても位置づけられています。この理論は、特に物質が持つ固有の角運動量、すなわち「スピン」が重力場にどのように影響を与えるかを探求するために発展しました。エリ・カルタンによって1922年にその基本的なアイデアが提唱され、その後、デニス・シャイアマやトム・キブルらによって1960年代に再検討されたことから、アインシュタイン・カルタン・シアマ・キッブル理論とも呼ばれます。

一般相対性理論との違い

アインシュタイン・カルタン理論が一般相対性理論と異なる主な点は二つあります。

1. 時空の幾何学: 一般相対性理論が、時空の「曲がり」だけを記述するリーマン幾何学に基づいているのに対し、アインシュタイン・カルタン理論は、時空の「曲がり」に加えて「ねじれ」をも考慮に入れるリーマン・カルタン幾何学を採用しています。この「ねじれ」は、時空上の各点で回転や速度変化（ローレンツ変換）に対する対称性を局所的に保つために導入される概念です。

2. 物質スピンとの関連: アインシュタイン・カルタン理論には、時空の「ねじれ」を物質のスピンと結びつけるための方程式が追加されています。一般相対性理論では、重力の源はエネルギーと運動量の分布であるエネルギー・運動量テンソルによって記述されますが、アインシュタイン・カルタン理論では、これに加えて物質のスピンの分布であるスピンテンソルが、時空の「ねじれ」の源となります。

理論の構造

アインシュタイン・カルタン理論は、一般相対性理論をリーマン・カルタン幾何学の枠組みで再構築し、特定の幾何学的な制約を取り払うことで得られます。一般相対性理論の標準的な定式化では、時空の接続（ベクトルの平行移動のルールを定める数学的対象）は計量テンソルから一意的に決まる「レヴィ＝チヴィタ接続」を用います。この接続は「ねじれゼロ」という性質を持ちます。一方、リーマン・カルタン幾何学では、接続は計量とは独立な変数として扱われ、一般に非ゼロの「ねじれ」を持ち得ます。アインシュタイン・カルタン理論は、この独立な接続を用いた作用原理に基づき、接続に対する変分を行うことで、ねじれと物質スピンを結びつける方程式を導出します。また、計量に対する変分からは、ねじれによる項が付加されたアインシュタイン方程式が得られます。これらの場の方程式によれば、ねじれは物質のスピンテンソルに代数的に比例し、時空を波として伝播することはありません。その結果、物質が存在しない時空の外部ではねじれはゼロとなり、外部の重力場は一般相対性理論の予測と一致します。

歴史と評価

エリ・カルタンによる初期の提案後、アルベルト・アインシュタイン自身も一時、この理論を統一場理論構築の試みの中で探求しましたが、最終的には異なる方向へ進みました。1960年代の再検討以降も、アインシュタイン・カルタン理論は一般相対性理論や他の代替理論（例えばブランス＝ディッケ理論など）に比べて注目度が低い時期が続きました。これは、追加された「ねじれ」を扱う数学的な複雑さにもかかわらず、当時の実験や観測で確認できる明確な予測上の利点が少なかったためです。また、この理論はあくまで古典的な枠組みに留まるため、量子重力理論が直面する根本的な問題（例：特異点の存在）を直接解決するものではないと見なされていました。

近年の関心と特異点の回避

近年、アインシュタイン・カルタン理論は、宇宙論、特に宇宙の始まりにおける重力特異点の回避という観点から再び関心を集めています。一般相対性理論に基づく特異点定理（ペンローズ・ホーキングの特異点定理など）は、時空のねじれを許容するリーマン・カルタン幾何学ではそのまま成り立たない場合があります。アインシュタイン・カルタン理論では、物質、特にスピンを持つフェルミ粒子が高密度に存在する場合、ねじれとスピンの相互作用が非常に強くなり、これが有効な非線形相互作用として働くことで、一般相対性理論が予測するビッグバン特異点（時空の曲率が無限大になる点）を回避できる可能性が示唆されています。このシナリオでは、宇宙は特異点ではなく、最小スケールに達した後に収縮から膨張に転じる「ビッグバウンス」を経験したと考えられます。これは、現在の宇宙がなぜ平坦で均質、等方的に見えるのかを説明するインフレーション理論に対する代替的な説明を提供しうるものです。さらに、ブラックホール内部で形成されるとされる特異点も、アインシュタイン・カルタン理論のもとでは特異点ではなく、ワームホール（アインシュタイン・ローゼン橋）のような構造に置き換わる可能性が議論されています。ねじれの存在は、フェルミ粒子を点粒子として扱うことによる場の量子論での発散問題を緩和する可能性も持ち合わせています。

その他の関連

アインシュタイン・カルタン理論は、理論的な探求の範囲を超え、重力遮蔽の可能性や、等価原理に違反することなくニュートリノ振動を説明できる可能性など、様々な物理現象との関連も示唆されています。また、幾何学と力学を結びつける幾何力学や、物質の根源を渦動と見る原子渦動説といった古い概念との意外な関連性も指摘されることがあります。

このように、アインシュタイン・カルタン理論は、一般相対性理論に時空の「ねじれ」と物質の「スピン」の概念を導入することで、古典的な重力理論の枠内で様々な興味深い現象を説明しうる豊かな構造を持っています。その数学的、物理的な意義は、現代の重力研究において依然として活発な議論の対象となっています。

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