エネルギー・運動量テンソル

エネルギー・運動量テンソルの概要

エネルギー・運動量テンソル（通常、Tμνと表される）は、相対性理論における重要な物理量であり、物質のエネルギー密度や運動量密度と関連しています。このテンソルは、質量密度、エネルギー密度、エネルギーの流れ、運動量密度、さらに応力を時空の幾何学的枠組みで記述するためのものです。

一般相対性理論における役割

一般相対性理論では、エネルギー・運動量テンソルはアインシュタイン方程式において物質の分布を示す項として現れます。これは重力の源、すなわち空間における物質の影響を表すものであり、力学的な要因が時空にどのように作用するかを理解するための鍵となります。これにより、重力の性質や運動体の動きがどのように空間と時間に影響を与えるかを探求する際の基盤が提供されます。

テンソルの定義と性質

エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、その対称性が重要な特性となっています。具体的な定義としては次のように表されます。
$$
T^{
u}_{
u} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{
u} \phi)} \partial_{
u} \phi - \delta^{
u}_{\mu} L
$$
ここで、Lはラグランジアン関数であり、φは場の変数です。この式は、時空の並進対称性に関連しており、エネルギー・運動量テンソルの性質から、本質的に対称であることが示されています。

さらに、共変微分を用いてテンソルの保存法則を示すことができ、次式が成り立ちます。
$$
T^{\mu
u}_{; \mu} = 0
$$
この式は、エネルギーと運動量の保存が成り立つことを意味します。

各成分の解釈

エネルギー・運動量テンソルの各成分は以下のように解釈されます。基本となる時間-時間成分T00はエネルギー密度を、時間-空間成分T0jは特定の方向へのエネルギーの流れを示します。空間-時間成分Ti0はi成分の運動量密度を表し、空間成分Tijはi成分の運動量の流れを示します。

完全流体近似と特殊な場合

物質の平均自由行程が非常に短い場合、流体近似を適用することが可能です。この場合、エネルギー・運動量テンソルは次の形式で表されます。
$$
T^{\mu
u} = (\rho + p) u^{\mu} u^{
u} + g^{\mu
u} p
$$
ここで、ρはエネルギー密度、pは圧力、uは流体の4元速度ベクトルです。この形式は、流体力学における解析でしばしば用いられ、宇宙論や高エネルギー物理学の文脈で役立ちます。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

電磁場も独自のエネルギー・運動量テンソルを持ち、通常は電磁ポテンシャルと関連しています。電磁場のラグランジアン関数から導かれるテンソルは、電磁場のエネルギー密度やポインティングベクトルを記述し、アインシュタイン方程式における関連性を示します。

結論

エネルギー・運動量テンソルは、相対性理論における基本的な概念の一つであり、重力や物質の運動を理解するために不可欠なツールです。一般相対性理論の枠組み内で、質量やエネルギーの分布が空間と時間にどのように影響を与えるかを考察する際、エネルギー・運動量テンソルは中心的な役割を果たします。

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