アインシュタイン半径

アインシュタイン半径は、宇宙の巨大な天体（銀河や銀河団など）が手前にある光源（遠方の銀河やクエーサーなど）からの光をその重力によって曲げる「重力レンズ」という現象において、形成される像の典型的な広がりを示す角度です。特に、光源がレンズとなる天体の視線方向と完全に一致している場合、その重力によって光源の像はレンズ天体を中心とした完全な円環状に見えることがあります。この円環を「アインシュタインリング」と呼び、その観測される角半径がアインシュタイン半径です。アインシュタイン半径は、重力レンズ効果の強さを定量的に示す基本的な尺度として用いられます。

物理的な背景と導出

アインシュタインの一般相対性理論によれば、質量を持つ物体は周囲の時空を歪ませ、その近くを通過する光の経路を曲げます。これが重力レンズ効果の原理です。光がレンズ天体の近くを通過する際に曲げられる角度（屈曲角）は、レンズ天体の質量が大きいほど、また光がレンズ天体の質量中心に近いほど大きくなります。

最も単純なモデルとして、レンズ天体の質量 M が一点に集中している質点であると仮定し、光がレンズの質量中心から角距離 θ1 だけ離れた位置を通過する場合を考えます。このときの光の屈曲角 α は、微小角の近似のもとで、レンズまでの距離 DL、光源までの距離 DS、レンズから光源までの距離 DLS という三者の配置と、質量 M、光速 c、万有引力定数 G を用いて幾何学的に導かれる「レンズ方程式」によって、光源の本来の角位置 θS と、レンズを通して観測される像の角位置 θ1 との関係が与えられます。具体的には、 θ1 DS = θS DS + α DLS という関係が成り立ちます。

アインシュタイン半径 θE は、このレンズ方程式において、光源がレンズの視線方向と完全に一致する場合、すなわち θS = 0 の場合に定義される特別な角位置です。質点レンズの場合、θS = 0 であれば像はレンズを中心とする円環状になり、その角半径が θE となります。この条件のもとでレンズ方程式を解くと、アインシュタイン半径 θE は以下の式で与えられます。

$$ \theta_{E} = \left( \frac{4GM}{c^2} \frac{D_{\rm LS}}{D_{\rm L}D_{\rm S}} \right)^{1/2} $$

この式から、アインシュタイン半径はレンズの質量 M の平方根に比例し、観測者、レンズ、光源の間の距離関係（DLS / (DLDS)）にも依存することがわかります。特に、レンズ天体が観測者と光源のほぼ中間に位置するときに、DLS / (DL*DS) の項が最大となり、アインシュタイン半径も最大となります。

スケールと観測

アインシュタイン半径の大きさは、レンズ天体の質量と宇宙におけるその位置によって大きく異なります。例えば、銀河団のような巨大な天体（質量が太陽の10兆倍以上にもなる）がレンズとなる場合、そのアインシュタイン半径は数十秒角から百秒角を超えることもあり、これは「重力マクロレンズ」として地上や宇宙望遠鏡で観測可能なスケールです。これらのアインシュタインリングやアーク状の像は、銀河団の質量分布を調べる有力な手段となります。

一方、銀河系内の恒星（太陽質量程度）がレンズとなる場合、そのアインシュタイン半径はミリ秒角（1秒角の1000分の1）程度と非常に小さくなります。このような「重力マイクロレンズ」現象では、レンズによって光が複数の像に分離して観測されることは現在の技術では困難であり、主に光源の明るさが時間とともに変化する様子（光度曲線）を捉えることで現象が検出されます。この光度曲線の形状から、レンズ天体の質量や距離に関する情報を得ることができます。

質点レンズからの一般化

実際には、ほとんどの天体は質点ではなく、広がりを持った質量分布を持っています。このような場合でも、アインシュタイン半径は重力レンズ効果の典型的なスケールとして有用な概念です。広がりを持ったレンズや、光源がレンズの視線方向からずれている場合、アインシュタインリングのような完全な円環は形成されず、複数の点像や弧状の像が観測されます。アインシュタイン半径は、これらの像がレンズ中心からどの程度の角距離に現れるかの目安となります。

重力レンズ効果による像の歪みが比較的弱い場合を「弱い重力レンズ」、複数の像が形成されたり、顕著なアーク状の構造が現れたりする強い歪みが生じる場合を「強い重力レンズ」と呼びますが、アインシュタイン半径はこれらの分類や現象の理解においても中心的な役割を果たします。完全なアインシュタインリングが観測されるのは、光源・レンズ・観測者がほぼ完全に整列し、かつレンズの質量分布がほぼ軸対称であるという、比較的まれなケースに限られます。

アインシュタイン半径という概念は、重力レンズ現象を通じて宇宙の質量分布やダークマターの性質を探る上で不可欠なツールとなっています。

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