万有引力定数

万有引力定数とは

万有引力定数（ばんゆういんりょくていすう）は、重力相互作用の大きさを表す基本的な物理定数です。ニュートンの万有引力の法則において、二つの物体の間に働く引力を計算するために導入されました。この定数は、一般に G という記号で表されます。

万有引力の法則における役割

質量 m1 と m2 を持つ二つの物体が距離 r だけ離れて存在しているとき、これらの間に働く万有引力 Fg は、以下の式で表されます。


Fg = G (m1 m2) / r^2


ここで、G が万有引力定数です。この式からわかるように、万有引力は二つの物体の質量の積に比例し、距離の二乗に反比例します。SI単位系では、質量をキログラム (kg)、距離をメートル (m)、力をニュートン (N) で表すため、万有引力定数の単位は N m²/kg² （または m³ kg⁻¹ s⁻²）となります。

一般相対性理論における万有引力定数

アインシュタインの一般相対性理論では、ニュートンの重力理論を拡張し、重力を時空の歪みとして捉えます。この理論の基礎方程式であるアインシュタイン方程式にも、万有引力定数 G が比例係数として現れます。これは、重力が単なる力ではなく、時空の性質と密接に関わっていることを示しています。

万有引力定数の値

2018年のCODATA推奨値では、万有引力定数 G の値は以下のようになっています。


G = 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²


この値は、1 kg の二つの質点が 1 m 離れたときに働く引力をニュートンで表したもので、非常に小さい値です。例えば、1トンの物体が互いに1m離れて引き合う力は、約6.7×10⁻⁵Nであり、これは地球上で約6.8mgの物体に働く重力に相当します。また、万有引力定数をディラック[[定数]]と真空中の光速で換算した量は、以下のようになります。


G/ħc = 6.70883(15) × 10⁻³⁹ (GeV/c²)⁻²

万有引力定数の測定

万有引力定数を正確に測定するためには、既知の質量を持つ物体間に働く万有引力を精密に測定する必要があります。1798年にキャヴェンディッシュによって行われた実験は、この定数を初めて測定したことで知られています。この実験では、針金で吊るした棒の両端に鉛球を取り付け、固定した別の鉛球との間の引力を測定しました。この実験は、もともと地球の密度を求めるために考案されたものでしたが、万有引力定数が求められたことで、地球の質量と密度が初めて計算されました。

万有引力定数測定の難しさ

万有引力は非常に弱い力であるため、その測定は非常に困難です。また、静電遮蔽のような方法で周囲の物質の影響を取り除くことができないため、測定精度は他の物理定数に比べて低いのが現状です。CODATA2018の値にも2.2×10⁻⁵という相対標準不確かさがあり、その仮数も小数第2位までしか確定していません。

万有引力定数の精度が低いことによる影響

万有引力定数の精度が低いことは、天体の質量の測定や、微小なスケールでの重力理論の研究にも影響を与えています。例えば、連星パルサーの質量の測定精度は、万有引力定数の精度に依存します。また、ミリメートル以下の微小な範囲では、ニュートンの万有引力が正確に検証されていないため、小さなスケールで重力理論の変更を考慮する必要性も指摘されています。

その他の万有引力定数の値

国際測地学協会では、1999年に万有引力定数の値として、6.67259(30)×10⁻¹¹ m³ s⁻² kg⁻¹ を採用しています。また、NASAもこの値を使用しています。しかし、2007年には原子干渉計を用いた測定で、従来の値とは大きく異なる 6.693(21)×10⁻¹¹ m³ s⁻² kg⁻¹ という値が報告されています。

万有引力定数と天体の質量

万有引力定数の測定精度は低いものの、万有引力定数に太陽[[質量]]や地球質量を掛け合わせた値（日心重力定数や地心重力定数）は精度良く測定されています。これらの値はそれぞれ以下のようになっています。


GMS = 1.32712442099(100) × 10²⁰ m³ s⁻²
GME = 3.986004418(8) × 10¹⁴ m³ s⁻²


これらの値を用いることで、地球質量は 5.9722(6)×10²⁴ kg （CODATA 2006）や 5.9737(3)×10²⁴ kg (国際測地学協会)のように計算されます。NASAでは5.9736×10²⁴ kg が採用されています。

一般相対性理論とアインシュタインの重力定数

一般相対性理論のアインシュタイン方程式は以下のように表されます。


Gμν + Λgμν = κTμν


ここで、左辺のGμνは時空の曲率を表すアインシュタインテンソル、Λは宇宙定数、gμνは時空の計量テンソルです。右辺のTμνは物質分布を示すエネルギー・運動量[[テンソル]]であり、κ = 8πG/c⁴ はアインシュタインの重力定数と呼ばれることがあります。

まとめ

万有引力定数は、重力を理解する上で非常に重要な定数ですが、その測定は非常に困難であり、精度向上が求められています。今後、新しい測定技術の開発によって、万有引力定数の測定精度が向上することが期待されます。

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