アダマール積

アダマール積とは

数学におけるアダマール積（Hadamard product）は、同じサイズの行列に対して、対応する成分同士を掛け合わせることで得られる行列の積です。この演算は、要素ごとの積（element-wise product）、シューア積（Schur product）、点ごとの積（pointwise product）、成分ごとの積（entrywise product）など、様々な名前で呼ばれています。ジャック・アダマールやイサイ・シューアといった数学者の貢献により、この名が付けられました。

アダマール積の特徴

アダマール積は、結合法則と通常の行列の和（成分ごとの和）に対する分配法則を満たします。また、係数環が可換であれば、通常の行列の積とは異なり、常に可換となります。

アダマール積の定義

同じサイズ m × n の2つの行列 A = (ai,j), B = (bi,j) に対し、それらのアダマール積 A ∘ B は、次のように定義されます。

math
A \circ B = (a_{ij} \cdot b_{ij})_{1 \leq i \leq m \atop 1 \leq j \leq n}


ここで、結果として得られる行列も同じく m × n のサイズを持ちます。もし行列のサイズが異なると、アダマール積は定義されません。

具体例

例えば、3 × 3 行列 A = (ai,j) と 3 × 3 行列 B = (bi,j) のアダマール積は、以下のようになります。

math
\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}&a_{13}b_{13}\\a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}&a_{23}b_{23}\\a_{31}b_{31}&a_{32}b_{32}&a_{33}b_{33}\end{bmatrix}

アダマール積の性質

アダマール積は、以下のような性質を持ちます。

可換性: A ∘ B = B ∘ A
結合性: A ∘ (B ∘ C) = (A ∘ B) ∘ C
分配性: A ∘ (B + C) = A ∘ B + A ∘ C

アダマール積における単位元は、全ての成分が1である行列です。また、アダマール積に関する逆行列が存在するための必要十分条件は、その行列の成分に一つも0が含まれないことです。

ベクトルとアダマール積

ベクトル x, y に対して、それらを主対角線に持つ対角行列 Dx, Dy を考えると、以下の関係が成り立ちます。

math
x^{}(A \circ B)y = \operatorname{tr}(D_{x}^{}AD_{y}B^{\intercal })


x は x の随伴です。特に、成分が全て1であるようなベクトルを考えると、アダマール積の成分の総和がABTのトレースと等しいことが分かります。また、正方行列A, Bに対して、アダマール積の行和はABTの対角成分に等しいという関係もあります。

math
\sum_{i}(A \circ B)_{i,j} = (B^{\intercal }A)_{j,j}

math
\sum_{j}(A \circ B)_{i,j} = (AB^{\intercal })_{i,i}


アダマール積は、クロネッカー積の主小行列としても表現できます。

シューア積定理

半正定値行列の興味深い性質として、2つの半正定値行列のアダマール積もまた半正定値となることが知られています。これは、シューア積定理として知られ、ドイツの数学者イサイ・シューアに因んでいます。さらに、半正定値行列 A, B に対して以下の不等式が成り立ちます。

math
\det(A \circ B) \geq \det(A)\det(B)

まとめ

アダマール積は、行列の要素ごとの積であり、通常の行列の積とは異なる性質を持ちます。可換性、分配性、そしてシューア積定理など、応用数学や信号処理などの分野で重要な役割を果たしています。

参考文献

[参考文献リストがあればここに記載]

関連項目

行列の乗法
* 点ごとの積

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