単位元

単位元の概念

数学、特に抽象代[[数学]]において、単位元（identity element）または中立元は、特定の二項演算を持つ集合の中で特別な役割を果たす要素です。単位元は、他の全ての元と演算を行っても、その元の値を変えることがないという特徴を持っています。具体的には、集合 M と二項演算 ∗ を考えた時、M の元 e が二項演算 ∗ に対して両側単位元であるとは、任意の元 a に対して以下の条件が成立することを意味します。

$$
a ∗ e = e ∗ a = a$$

この式が言っているのは、元 a と単位元 e を演算 ∗ で結合した結果は元 a 自身に戻るということです。加えて、右単位元や左単位元として、それぞれの片側だけで見る単位元の特性も定義されます。すなわち、右単位元は左側に置くと元 a を保持するが、左単位元は右側に置いた時に元 a を保持します。

単位元を有する代数系は、通常「単位的」と呼ばれ、単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などのように分類されます。

単位元の種類

代数的構造の中で、特に環など加法と乗法といった複数の演算を持つ場合、どの演算に関連する単位元かを明示的に区別することが重要です。加法に関する単位元は通常0、乗法に関する単位元は1で表されます。これにより、それぞれの演算についての理解が深まります。

単位元の性質

代数系において、左単位元と右単位元は必ずしも独立に存在するわけではなく、両方が存在する場合はそれらは一致し、唯一の両側単位元になります。具体的には、もし e1 が左単位元、e2 が右単位元であれば、次の関係が成立します。

$$
e_{1} = e_{1} ∗ e_{2} = e_{2}$$

このことから、両側単位元の存在は一つに限られることがわかります。また、単位元を持たないマグマも存在することがあり、例えばベクトルのクロス積はその一例です。クロス積の漸進として、二つの非零ベクトルのクロス積は、その二つのベクトルに直交するため、単位元が定義できないことが理解できます。さらに、正の自然数の加法的半群も単位元を持たない例です。

単位元の追加

あるマグマ (M, ∗) において、新たに元1を追加するとします。新しい集合 M1 は次のように定義されます。

$$
M1 := M ∪ {1}
$$

このとき、M の演算 ∗ を M1 に拡張することで、元1が新しい単位元として機能します。このようにして得られる代数系を (M1, ∗) と言い、これを (M, ∗) の1-添加と呼びます。元 e がもともと単位元であった場合でも、この新しい集合では元1が有効な単位元となります。したがって、単位元を追加することによって新たな代数的性質を得ることができます。

参考文献

• - 田村孝行『半群論』共立出版
• - M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs

このように、単位元は数学の中で重要な役割を果たし、さまざまな構造を理解するための基本知識となります。

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