アダマール行列
アダマール行列の概要
アダマール行列（Hadamard matrix）とは、要素が1または−1で構成されている正方行列です。この行列の特徴は、各行が互いに直交していること、すなわち任意の2つの行ベクトルが垂直な関係にある点です。アダマール行列は、多くの数学的及び実用的な応用があり、特に通信技術の分野では誤り訂正コードや統計学の分散推定手法で用いられています。この行列の名前は、フランスの著名な数学者ジャック・アダマールにちなんで名付けられました。
性質
アダマール行列Hの重要な性質の一つは、行列の転置と行列自身との積が元の次数nに対して単位行列Iに比例することです。具体的には、以下の式が成立します：
$$H^{ op}H = nI_n$$
ここで、det Hは行列Hの行列式を意味し以下の関係が成り立ちます：
$$ ext{det}(H) = ext{±} n^{n/2}$$
また、畳み込み不等式により、要素が絶対値1以下のn次複素行列Mに対して、行列式の絶対値は次のように制約されます：
$$| ext{det}(M)| ext{≤} n^{n/2}$$
この場合、実数行列Mがアダマール行列であるための条件とも等号が成立します。アダマール行列の次数は、必ず1、2、または4の倍数でなければなりません。
シルベスターの生成法
アダマール行列の初の具体例は1867年にジェームス・ジョセフ・シルベスターによって示されました。与えられたn次のアダマール行列Hから新たな2n次のアダマール行列を生成することが可能です。行列の生成は次のように行われます：
$$ egin{bmatrix} H & H \ H & -H \\ \\ ext{このプロセスは繰り返し適用可能で、ウォルシュ行列と呼ばれる系列が導かれます。} $$
具体的な生成の例として、次のような行列を考えることができます：
- - $$H_1 = [1]$$
- - $$H_2 = egin{bmatrix}1 & 1 \ 1 & -1
ewline \\ $$
この生成法により、シルベスターの行列は多くの特性を持ちます。全ての行と列が対称で、行と列の平均も0になります。シルベスターの行が生成したアダマール行列は、ウォルシュ関数と密接に結びついています。
他の生成法
他の方法としては、群の準同型を利用してアダマール行列を生成する手法があります。nビットの整数列を用い、昇順に並べたn×2^n行列Fnを考えます。この行列は、次のように再帰的に定義されます。:
- - $$F_1 = [0, 1]$$
- - $$F_n = egin{bmatrix}0_{1 imes 2^{n-1}} & 1_{1 imes 2^{n-1}} \ F_{n-1} & F_{n-1}
この手法により得られるアダマール行列Hの一般形は、次のようになります：
$$H_{2^n} = F_n^{ op}F_n$$
ここで、各行は誤り訂正符号を形成しています。この誤り訂正符号は「ウォルシュ符号」と名付けられています。MATLABの関数hadamard(n)を用いることで、n次のアダマール行列を簡単に生成可能です。
アダマールの予想
アダマール行列に関する重要な未解決の問題は、アダマール予想です。この予想は、すべての正整数kに対して4k次のアダマール行列が存在するというものです。シルベスターは1867年に2k次のアダマール行列を発見しています。アダマール自身は、1893年に12次と20次のアダマール行列を確認しました。
1933年にはレイモンド・ペイリーが、特定の条件を満たす素数冪に対するアダマール行列の生成方法を示しました。ペイリーの業績がアダマール予想に影響を与えたとも考えられています。最小の生成されていないアダマール行列の次数は668とされています。
等価性
アダマール行列の等価性は、行または列の符号を変えたり入れ替えたりすることで新たな行列を得られることに関連しています。1次から12次のアダマール行列は唯一無二の存在である一方、16次以降には異なる形が多数存在します。
歪アダマール行列
アダマール行列Hが以下の条件を満たす場合、それを歪アダマール行列と呼びます：
$$ H^{ op} + H = 2I $$
特殊例と一般化
アダマール行列には様々な一般化や特殊例が存在します。その中には、要素が0を含む「重み付き行列」や、各要素が絶対値1の複素数である「複素アダマール行列」があります。さらに、循環アダマール行列や正則なアダマール行列もその特別な例です。これらは数学のさまざまな研究分野で特に重要な位置を占めています。
これらの知識は、アダマール行列が持つ深遠な性質と計算機科学、情報理論、統計学などへの応用を理解するために不可欠です。
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