正方行列

正方行列

数学、特に線型代数学の分野において、正方行列（せいほうぎょうれつ、英語: square matrix）とは、含まれる要素の並びが行方向と列方向とで同じ数になる行列のことを指します。例えば、行が3つで列も3つある行列は正方行列です。大きさが n 行 n 列である行列は、特に「n次正方行列」と呼ばれ、その次元を示します。

一般的に、n次正方行列Aは以下のように表現されます。

$$ A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{bmatrix} $$

ここで、$a_{ij}$は行列のi行j列目の要素を表します。

正方行列の重要な性質

正方行列は、その形状が特殊であるために多くの興味深い数学的性質を持ちます。中でも特筆すべき性質は以下の通りです。

環の構造: 同じ大きさ（同じ次元 n）を持つ正方行列を集めた集合は、行列の加法と乗法に関して「環」と呼ばれる代数的構造を形成します。この環は特に「n次全行列環」と呼ばれます。
非可換性: 一般に、2次以上の全行列環において、行列の乗法は交換法則を満たしません（非可換です）。つまり、ほとんどの場合、行列AとBに対して $AB
eq BA$ となります。ただし、1次の行列（スカラー）の場合は可換です。
部分構造: 実数体上で定義された2次全行列環は、複素数体と同型な部分構造を含んでいます。また、複素数体上の2次全行列環や実数体上の4次全行列環は、四元数体と同型な部分構造（斜体）を含んでいます。これは、正方行列が他の重要な数体系と関連が深いことを示唆しています。
行列式の定義: 可換環上で定義された正方行列には、その構造から導かれるスカラー値である「行列式」を定義することができます。行列式は、行列が持つ多くの性質、特に可逆性（逆行列が存在するかどうか）を知る上で非常に重要な役割を果たします。
分解: 正方行列は、ある条件の下で単元（逆元を持つ要素）と冪等元（2乗しても自分自身になる要素）の積として表現できることが知られています。

正方行列に対して定義される主な概念

正方行列の特別な構造により、他の一般的な行列には通常定義されない、あるいは正方行列の場合に特に重要な意味を持つ多くの数学的概念が存在します。

逆行列: 正方行列Aに対して、$AB = BA = I$（Iは単位行列）となる行列Bが存在する場合、BをAの逆行列と呼びます。逆行列を持つ正方行列は「正則行列」と呼ばれます。
行列式: 上記のように、正方行列から計算される特定のスカラー値で、線形変換の拡大率や向きの変化を表し、正則性の判定などに使われます。
固有値と固有ベクトル: 正方行列Aに対し、$Av = \lambda v$（vはゼロでないベクトル、$\lambda$はスカラー）を満たすベクトルvを固有ベクトル、スカラー$\lambda$を固有値と呼びます。固有値と固有ベクトルは、行列が表す線形変換の特性を理解する上で不可欠です。
トレース: 正方行列の主対角成分（左上から右下への対角線上にある要素）の和です。いくつかの重要な性質を持ち、行列の分類などに用いられます。
特異値: 正方行列を含む任意の行列に対して定義されますが、特に正方行列の場合も重要な意味を持ちます。

これらの概念のうち、特異値を除いた逆行列、行列式、固有値、トレースは、主に正方行列に対して定義されるか、正方行列の場合に最も頻繁に用いられます。

特殊な正方行列の種類

特定の性質を持つ正方行列には、特別な名前が付けられています。例としては以下のようなものがあります。

三角行列、対角行列、単位行列: 要素が特定のパターン（対角成分以外がゼロなど）を持つ行列です。
エルミート行列、対称行列: 要素とその複素共役または自身との間に特定の関係がある行列で、物理学などで重要です。
正則行列: 逆行列を持つ正方行列です。
ユニタリ行列、直交行列: 内積を保つような変換を表す行列で、ノルムや角度を変えません。
* カルタン行列: リー環論などで現れる特別な構造を持つ行列です。

関連する分野と定理

正方行列は、線型代数学の基礎をなす概念であり、この分野の様々な定理や手法に関わってきます。代表的なものとして、正方行列とその特性多項式に関する「ケイリー・ハミルトンの定理」などが挙げられます。

正方行列とその理論は、数学だけでなく、物理学、工学、経済学、コンピュータ科学など、幅広い分野で応用されています。

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