アペリーの定理

アペリーの定理

アペリーの定理は、数学の一分野である数論における画期的な成果です。この定理は、リーマンゼータ関数 ζ(s) の特定の値である ζ(3) が無理数であることを証明したものです。ζ(3) という数は、次の無限級数によって定義されます。

$$ \zeta(3) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dotsb \approx 1.2020569 \ldots $$

無理数であるとは、この値が p/q のような、分子と分母が整数である分数の形では正確に表現できないことを意味します。

定理の背景となる問題

リーマンゼータ関数は様々な数学分野に現れる重要な関数です。特に正の整数値 s における ζ(s) の値は古くから研究されてきました。

s が偶数、すなわち s = 2n (n は正の整数) の場合、オイラーは ζ(2n) が円周率 π の偶数乗と有理数（ベルヌーイ数に関係）の積で表される美しい公式を発見しました。π の冪乗が無理数であることから、ζ(2n) は全ての正の整数 n に対して無理数であることが分かっています。

一方、s が奇数、すなわち s = 2n + 1 (n は正の整数) の場合、例えば ζ(3), ζ(5), ζ(7), ... などについては、偶数点のような一般的な公式は知られていませんでした。これらの奇数点におけるゼータ関数の値が有理数なのか無理数なのかは、長い間数学の未解決問題の一つであり、特に無理数であると予想されていましたが、その証明は極めて困難でした。

アペリーによる衝撃的な証明

この難問に光を当てたのが、フランスの数学者ロジェ・アペリーです。彼は1978年、驚くべきことに ζ(3) が無理数であることの証明を発表しました。この発表は数学界にとって全く予想外であり、当初はその証明が正しいかどうか懐疑的な見方も少なくありませんでした。しかし、綿密な検証の結果、アペリーの証明は正当であることが確認されました。

アペリーの証明は、ディリクレの無理数性判定法と呼ばれる手法を応用したものでした。これは、ある数が無理数であるためには、その数に非常に速く収束するような「良い近似」を与える有理数列が、特定の条件を満たさないことを示すという考え方です。アペリーは ζ(3) に対して、ある特別な性質を持つ二つの数列 $a_n$ と $b_n$ を構成し、その比 $a_n / b_n$ が ζ(3) に極めて速く収束することを示しました。そして、これらの数列が持つ性質から、もし ζ(3) が有理数であると仮定すると矛盾が生じることを導き出したのです。

アペリーの証明手法は独特で、他の奇数点ゼータ値には容易に適用できないという性質があり、数学者たちにその深遠さや謎めいた印象を与えました。その後、フリッツ・ボイカーズはルジャンドル多項式を用いた積分計算による、またユーリイ・ネステレンコも別の手法による証明を発表し、アペリーの定理の理解はさらに深まりました。

未解決の奇数点ゼータ値と今後の展望

アペリーの定理の成功は、ζ(5), ζ(7) など他の奇数点におけるゼータ値の無理数性証明への挑戦を促しました。しかし、ζ(3) の証明に用いられた手法をそのまま高次の奇数点に拡張することは難しく、これらの値が無理数であるか否かは、今日に至るまで未解決のままです。

それでも、この分野の研究は活発に進められています。特に、ヴァディム・ズディリンや Tanguy Rivoal らによる最近の研究では、線型形式というツールを用いることで、奇数点ゼータ値に関する重要な成果が得られました。例えば、無限個の ζ(2n+1) が無理数であることや、より具体的には、ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) のうち少なくとも一つは無理数であることなどが証明されています。

アペリーの定理は、数論における長年の難問に一石を投じ、未解決の奇数点ゼータ値に関する研究の重要な出発点となりました。この分野の研究は現在も進行中であり、新たな発見が期待されています。また、奇数点ゼータ値は数論だけでなく、物理学の素粒子論や統計力学など、様々な分野との関連も指摘されています。

参考文献

• - Huylebrouck, Dirk (2001). “Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)”. Amer. Math. Monthly 108: 222–231.

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