アルキメデスの性質

アルキメデスの性質

数学におけるアルキメデスの性質とは、実数体系をはじめとする様々な代数的構造に共通する性質で、体系内に「無限大」や「無限小」が存在しないことを意味します。この概念は古代ギリシャの量の理論に起源を持ち、現代数学においても重要な役割を果たしています。

定義

アルキメデスの性質は、対象とする代数的構造によって異なる形で定式化されます。

順序群における定義

順序群 G において、正の元 x, y について、任意の自然数 n に対して nx < y が成り立つとき、x は y に対して無限小であるといいます。順序群 G に、このような x, y の組み合わせが存在しないとき、G はアルキメデス的であるといいます。

順序体における定義

順序体 K の場合、アルキメデスの公理と呼ばれる以下の命題が成立することでアルキメデス性を特徴づけられます。

K の任意の元 x について、ある自然数 n が存在して n > x となる。
K の 0 でない任意の正の元 ε について、ある自然数 n が存在して 1/n < ε が成り立つ。

歴史

アルキメデスの性質は、古代ギリシャの数学者アルキメデスにちなんで名付けられました。ユークリッドの『原論』にもその概念が見られます。ヒルベルトによる幾何の公理系にも、アルキメデスの公理に相当するものが含まれています。

例

実数: 実数体は、順序体としてもノルム体としてもアルキメデス性を持っています。これは、有理数体がアルキメデス性を持ち、実数がその完備化として得られることから導かれます。
非アルキメデス的順序体: 実数係数の一変数有理関数体は、特定の順序構造を与えることで非アルキメデス的な順序体となります。この順序において、1/t は無限小の元となります。
非アルキメデス局所体: 有理数体に p進距離を入れたものや、その完備化である p進体は、ノルム付き体としてアルキメデス的ではありません。

順序体における同値な定義

順序体 K のアルキメデス性は、以下の命題によっても特徴づけられます。

自然数の集合は K の中で共終である。
集合 {1/2, 1/3, 1/4, ...} は 0 を K における下限として持つ。
K における正の有理数と負の有理数の間にある数の集合は閉じている。
K の任意の元 x について、x より大きな整数の集合は最小元を持つ。
K における任意の開区間は有理数を含む。
* 有理数の集合は sup および inf に関して K の中で稠密である。

まとめ

アルキメデスの性質は、数学における基本的な概念であり、様々な分野で重要な役割を果たしています。特に、実数体の性質を特徴づける上で不可欠な概念です。

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