順序体

順序体：数の体系における順序と演算の調和

数学において、順序体 (ordered field) とは、体の構造と順序構造が調和的に結びついた数体系です。具体的には、通常の数の大小関係のような全順序が定義されており、この順序関係が体の加法と乗法と矛盾なく整合している必要があります。

順序体の定義

順序体の定義は、大きく分けて二つの同値なアプローチが存在します。

1. 全順序を用いた定義: 体の要素間に全順序 ≤ が定義され、以下の条件を満たす場合、その体は順序体となります。

a ≤ b ならば a + c ≤ b + c （加法の順序保存性）
0 ≤ a かつ 0 ≤ b ならば 0 ≤ ab （乗法の順序保存性）

2. 正錐を用いた定義: 体 F の部分集合 P が F の正錐 (positive cone) であるとは、以下の条件を満たすことを言います。

x, y ∈ P ならば x + y ∈ P, xy ∈ P （加法と乗法における閉じ性）
x ∈ F ならば x² ∈ P （平方元の非負性）
−1 ∉ P （負の単位元の包含の否定）


この正錐 P を用いることで、順序関係を定義できます。つまり、a ≤ b ⇔ b - a ∈ P とすることで、順序体としての構造を表現できます。

順序体の基本性質

順序体には、以下の重要な性質があります。

標数の制約: 順序体の標数は必ず 0 です。これは、1 > 0 から 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0...と順次導かれ、有限標数の体ではこの性質が成り立たないためです。結果として、有限体は順序体になりません。
平方元の非負性: 任意の要素 a について、a² ≥ 0 が成立します。これは、順序の整合性から自然に導かれます。
部分体の順序体: 順序体の任意の部分体は、もとの体の順序を制限することで、それ自身順序体となります。
有理数体の包含: 任意の順序体は、有理数体と体として同型な部分体を含みます。
アルキメデス性: すべての元が有理数体の二つの元の間にあるような順序体はアルキメデス的です。超実数体は非アルキメデス的順序体の例です。
実閉体との関係: デデキント完備な順序体は実数体と同型になります。

順序体の例と反例

順序体の例: 有理数体 (ℚ), 実数体 (ℝ), 実代数的数体など。実係数の有理関数体 R(x) も、x を正の無限大と見なすことで順序体になります。
* 順序体でない例: 複素数体 (ℂ), 有限体, p-進数体など。これらの体では、順序と演算の整合性を満たすような全順序を定義することができません。

順序体の更なる考察

順序体上のベクトル空間では、向き、凸性、正定値内積といった概念が自然に導入できます。また、ハリソン位相という、順序体の全体に定義される位相構造も存在します。

さらに、超順序体という、より高度な概念も研究されています。これは、総実代数体であって、平方和の集合が扇を成すものを指します。

歴史的背景

順序体の概念は、ヒルベルト、ヘルダー、ハーンといった数学者たちによる研究を経て、アルティン-シュライヤーの定理によって体系化されました。この定理は、形式的に実な体（つまり、0 を非零元の平方和として表せない体）が順序体と一対一に対応することを示しています。

まとめ

順序体は、数の体系における順序と演算の深いつながりを示す重要な概念です。その性質や例、関連概念を理解することは、数学の様々な分野を理解する上で不可欠です。

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