アルティン・シュライアー理論

アルティン・シュライアー理論とは

アルティン・シュライアー理論は、数学の分野で特に体論の一部として知られ、標数pの体におけるp次のガロワ拡大についての強力な記述を提供します。これは、クンマー理論では扱うことができない独特な拡張形式を含んでいます。

アルティン・シュライアー拡大の定義

まず、アルティン・シュライアー拡大について説明します。体Kを標数pの体とし、その中の元aを考えます。多項式Xp − X + aの分解体へのKの拡大がアルティン・シュライアー拡大と呼ばれています。この場合、bをこの多項式の一つの根とすると、b + i（0からp - 1の値を取るi）もまたその多項式の根であることが示されます。これらの根は全て異なります。

アルティン・シュライアー拡大には二つのシナリオが存在します。ひとつ目は、根の一つがKに属している場合です。この場合、全ての根もまたKに属し、したがって多項式は既にK上で分解されていることになります。

二つ目のシナリオは、根の一つがKに存在しない場合です。これにより、全ての根はKには含まれず、具体的にはaがx ∈ Kに対してx − xpの形ではないことが示されます。この際、Xp − X + aはK上で既約であり、その分解体はKのp次循環拡大として得られます。この拡大のガロワ群は、bに対する射がb ↦ b + 1の形で定義されます。

二つ目のケースに進むと、多項式Xp − X + aの根b + i（iは0からp - 1の範囲）もK[b]に存在し、それぞれ異なります。このため、Kのこの拡大は分離拡大と見なされ、ガロワ拡大であることが確立されます。ガロワ群はp個の射を持ち、b ↦ b + iという形で作用します。

理論の逆命題

アルティン・シュライアー理論の逆命題として、標数pの体における全てのp次循環拡大は必ずアルティン・シュライアー拡大に相当することが主張されます。この結果は、たとえばヒルベルトの定理90の加法版を使用することで証明されます。一方で、p次非ガロワ拡大はこの理論の範囲外であり、例えばp個の元を有する素体上の一変数関数体Fp(T)において、不定元Tのp乗根を追加したものなどが挙げられます。

このことから、標数pにおける冪根の理論がアルティン・シュライアー拡大を前提にした形となります。また、標数の冪による拡大を得るためにはヴィットベクトルの理論を利用することが求められます。

歴史的背景

アルティン・シュライアー型の多項式は1866年にジョセフ＝アルフレッド・セルにより発表された著作『Cours d'algèbre supérieure』の中で言及されています。この中で、セルは整数gが素数pで割れない場合の多項式Xp − X − gについて、モジュラーpにおいて既約であることを証明しました。彼の結果は、標数pの体がFpであることを示すことに貢献しています。

この様に、アルティン・シュライアー理論は多様な数学的事実を整理し、深い理解へと導く重要な役割を持っています。

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