ヒルベルトの定理90とは？意味をやさしく解説

ヒルベルトの定理90

ヒルベルトの定理90は、体論における巡回拡大の特性を理解する上での要点となる定理です。特に、ガロワ群が巡回である場合に、その体の元のノルムと特定の元の関係について述べています。この定理は、数学における体の構造の理解を深めるための基盤を提供します。

定理の表現

定理の基本的なステートメントとして、次のように表現されます。ある体$K$が別の体$k$に対して$n$次の巡回拡大であり、そのガロワ群を$G$、生成元を$ au$とする時、元$eta ext{（$K$の元）}$に対し、ノルム$N_{K/k}(eta)$が1であることは、ある$0
eq eta ext{（$K$の元）}$が存在して、$eta = rac{eta}{ au eta}$と表せることと同値です。

加法版も存在し、こちらはトレースに関連しています。$K/k$が$n$次巡回拡大であれば、元$eta ext{（$K$の元）}$に対するトレース$Tr_{K/k}(eta)$が0であることと、ある元$eta$が存在して$eta = eta - au eta$を満たすことが同値です。

群コホモロジーによる表現

また、群コホモロジーの観点から、この定理がどのように表現されるかにも注目が集まります。有限次のガロワ拡大$K/k$を考慮し、そのガロワ群を$G$とした場合、次の成り立つ条件が挙げられます。

- $H^1(G, K^*) = 0$
- $H^1(G, K) = 0$

これにより、体の元とその共変性についての深い理解が得られます。

具体例

ヒルベルトの定理90を理解するための具体的な例として、体$K = rac{oldmath{Q}(i)}{oldmath{Q}}$を取り上げます。このときのガロワ群は位数2の巡回群であり、生成元$ au$は次のように複素共役に対応します。

$$ au : c + di o c - di $$

体$K$の任意の元$x = a + bi ext{（$a, b ext{は有理数）}$}$に対し、ノルムは次のように計算されます。

$$ N_{K/oldmath{Q}}(x) = xx^{ au} = a^2 + b^2 $$

このノルムが1である元は、すなわち$ a^2 + b^2 = 1 $とする有理数解、すなわち単位円上の有理数点に対応します。ヒルベルトの定理90により、ノルムが1の元$y$は、次のような形で表現されることが保証されます。

$$ y = rac{oldmath{α}}{ au oldmath{α}} $$

ここで、$oldmath{α} = c + di$ は$K$の元として$ c, d ext{（有理数）}$を含みます。

元$y$をより詳しく表現するためには分母分子に共通の分母をかけて、次のように書くことができます。

$$ y = rac{c + di}{c - di} = rac{c^2 - d^2}{c^2 + d^2} + rac{2cd}{c^2 + d^2} i $$

この式は、単位円上の有理数点をパラメーターで表しています。具体的に、単位円の上の有理数点

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

に対する点$(x, y) = (a/c, b/c)$は、$a^2 + b^2 = c^2$というピタゴラス数を表します。

参考文献

- Serge Lang (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (Rev. 3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4
- 桂利行『代数学III 体とガロア理論』東京大学出版会〈大学数学の入門3〉、2005年。ISBN 978-4-13-062953-9。
- 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社、2010年。ISBN 978-4-535-78660-8。

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