アルティン・リースの補題

アルティン・リースの補題

数学におけるアルティン・リースの補題は、可換環論において、ネーター環上の加群の構造を深く理解するための重要なツールです。特に、ヒルベルトの基底定理などの結果と並び、ネーター環上の加群に関する基本的な結果として知られています。この補題は、1950年代にエミール・アルティンとDavid Reesによって独立に証明されました。また、特別な場合においては、オスカー・ザリスキによって先行して知られていました。

補題の主張

まず、アルティン・リースの補題の主張を正確に述べます。

アルティン・リースの補題:

ネーター環 R のイデアルを I とします。M を有限生成 R-加群とし、N をその部分加群とします。このとき、ある整数 k ≥ 1 が存在して、すべての n ≥ k に対して、次の等式が成立します。

`IⁿM ∩ N = Iⁿ⁻ᵏ(IᵏM ∩ N)`

この補題は、イデアル I のべき乗と加群 M の積が、部分加群 N と交わる部分について、ある程度「安定した」構造を持つことを示唆しています。

証明の概略

アルティン・リースの補題の証明は、環 R がネーター的であるという性質を本質的に利用します。証明の鍵となる概念は、I-フィルターとブローアップ代数です。

1. I-フィルター:
加群 M の部分加群の減少列 M = M₀ ⊃ M₁ ⊃ M₂ ⊃ ... が I-フィルターであるとは、IMₙ ⊂ Mₙ₊₁ が成り立つことをいいます。さらに、ある n 以降で IMₙ = Mₙ₊₁ が成り立つとき、そのフィルターは安定であるといいます。

2. ブローアップ代数:
環 R とそのイデアル I に対して、ブローアップ代数 bl(I)R = ⊕ₙ₀^∞ Iⁿ を定義します。同様に、I-フィルター Mₙ が与えられたとき、bl(I)M = ⊕ₙ₀^∞ Mₙ とおきます。これは bl(I)R 上の次数加群となります。

証明の核心は、Mᵢ が有限生成 R-加群による I-フィルターであるとき、bl(I)M が bl(I)R 上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値であるという事実を確認することにあります。

R がネーター的であるという仮定から、bl(I)R もネーター環となり、bl(I)M はネーター加群となります。したがって、N に誘導されるフィルターも I-安定となり、補題の主張が導かれます。

クルルの交叉定理への応用

アルティン・リースの補題の重要な応用の一つが、クルルの交叉定理の証明です。

クルルの交叉定理:

ネーター局所環の真のイデアル I に対して、∩ₙ₁^∞ Iⁿ = {0} が成り立ちます。

この定理は、ネーター局所環において、イデアルのべき乗の共通部分が自明になることを主張しています。アルティン・リースの補題をこの状況に適用することで、中山の補題を用いて定理を証明することができます。

まとめ

アルティン・リースの補題は、ネーター環上の加群の構造を解析するための強力な道具であり、可換環論において不可欠な結果です。クルルの交叉定理をはじめとする様々な定理の証明に応用され、環論の研究に大きく貢献しています。

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