ネーター環

ネーター環について

ネーター環とは、イデアルの昇鎖条件を満たす特定の環を指し、エミー・ネーターによって提案されました。この環は、すべてのイデアルが有限生成であるという特性を持っており、単項イデアル整域の一般化とも見ることができます。ネーター環にはいくつかの重要な条件があり、これらは互いに同値です。

定義と条件

ネーター環は、以下の3つの条件を満たす環として定義されます。
1. 昇鎖条件：任意の左イデアルの昇鎖列は、有限回で停止します。
2. 極大条件：空でない任意の左イデアルの族は、包含関係に関する極大元を持ちます。
3. 有限型条件：任意の左イデアルは有限生成です。

この定義において、「左イデアル」という用語を「右イデアル」に置き換えると、右ネーター環が定義されます。もし環が左ネーター的かつ右ネーター的であれば、それを両側ネーター環または単にネーター環と呼ぶことができます。特に、可換環においては、左ネーター環や右ネーター環は自然に両側ネーター環となり、ネーター的可換環は単にネーター環と呼ばれます。これは、文脈によっては誤解が生じることがないためです。

可換環がネーターであるためには、すべての素イデアルが有限生成であることが必要十分条件です。

性質

ネーター環には特有の性質があります。ネーター環の剰余環は常にネーター環であり、またネーター環の準同型像もネーター環となります。しかし、ネーター環の部分環が常にネーター環であるとは限りません。

例

具体例として、元xとyが関係yx = y^2 = 0を持つZ-代数Rを考えます。このRは左ネーター環ですが、右ネーター環ではありません。これは、RをZ[x]とZ[y]の直和分解として表した時、Z[x]は部分環としてヒルベルトの基底定理よりネーター環であり、Rは左加群として有限生成となるためです。もしRが右ネーター環であるなら、大きな矛盾が生じることから、Rは左ネーター環であるが右ネーター環ではないことが分かります。

ヒルベルトの基底定理

ヒルベルトの基底定理は、ネーター環上の一変数多項式環もネーター環であることを示しています。この定理は帰納的に、多変数の多項式環や有限生成環にも拡張可能です。つまり、ネーター環上の任意の有限生成環は再びネーター環となります。また、形式的べき級数環もネーター環であることが確認されています。

次元と高さ

可換環Aの下での真の減少列に基づき、素イデアルの高さを定義することができます。もしAがネーター環であれば、クルルの主イデアル定理により、任意の素イデアルの高さは有限であることが保証されます。ネーター環のクルル次元はこの高さの最大値であり、ネーター環はその特性上、真の上昇列の長さに基づく次元を持つことも分かります。すなわち、ネーター環の次元は常に有限であるとは限らないことを理解することが重要です。

まとめ

ネーター環は数学の中でも重要な概念であり、環論や加群論における様々な理論に基づいています。特に、ヒルベルトの基底定理やクルル次元など、さまざまな性質や概念が絡み合い、深い数学的構造を形成しています。これらは、さらなる研究や応用の基礎を築くものであるといえるでしょう。

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