アロンシャイン木

アロンシャイン木の概要

集合論におけるアロンシャイン木（Aronszajn tree）は、特異な特性を持つ非可算の木の一例として知られています。非可算な木とは、ノードの集合が可算無限ではなく、無限に大きな集まりを持つ木を指します。しかし、アロンシャイン木はその中でも特異な位置を占め、非可算なレベルや枝を持たない木として定義されます。つまり、アロンシャイン木には無限の量の層や枝が存在しないのです。例えば、ススリン木はアロンシャイン木の一種として具体例に挙げられます。

基数κにおけるアロンシャイン木

一般化を進めると、基数κに関連するκ-アロンシャイン木の概念が出てきます。これは、高さがκで、各レベルのサイズや枝の高さが全てκ未満であるという特性を持った木のことを指します。通常、アロンシャイン木といった場合には、特にℵ₁（アレフゼロの次の基数）のアロンシャイン木を指します。この名称は、1934年にこの木を初めて構成した数学者ナフマン・アロンシャインに由来しています。

興味深いことに、基数κがアロンシャイン木の存在しない条件を満たす場合、それは「tree property」を持つとされます。このプロパティを理解するためには、κが正則でかつ非可算であることが要件に含まれる場合もあります。

κ-アロンシャイン木の存在性についての知見

数学的な視点から見ると、ケーニヒの木に関する補題によって、ℵ₀（アレフゼロ）に対してはアロンシャイン木は存在しないことが証明されています。一方、ℵ₁に対するアロンシャイン木の存在については、アロンシャイン自身によって証明されており、この存在性は初期の数学的探求において重要な役割を果たしています。

しかし、ℵ₂（アレフニ）に関しては、その存在が決定不能であることが知られています。特に、連続体仮説（CH）を用いるとℵ₂-アロンシャイン木の存在が導かれる一方で、CHが成立しない場合にはミッチェルとシルヴァーがその存在しないことを示しています。これにより、ℵ₂-アロンシャイン木が存在しないことが無矛盾であるとの結論が導かれます。イェンセンはまた、全ての後続型無限基数κがκ-ススリン木を持つ場合、V＝Lの条件が成り立つことを証明しました。

さらに、CummingsとForemanの研究（1998年）により、1以外の全ての有限nに対してはℵₙ-アロンシャイン木が存在しないことが無矛盾であることが示されています。そして、κが弱コンパクト基数である場合、κ-アロンシャイン木は存在しないという側面も考慮されます。

特殊アロンシャイン木の定義と性質

次に、特殊アロンシャイン木という概念について触れましょう。ℵ₁-アロンシャイン木が特殊であるとは、木の各ノードから有理数全体の集合への関数fが存在し、ある条件「x < y であれば f(x) < f(y)」が成り立つことを意味します。マーティンの公理MA（ℵ₁）を考慮すると、全てのアロンシャイン木が特殊であることが導かれます。

対照的に、特殊でないアロンシャイン木が存在することもまた無矛盾であり、GCHとSHを合わせても無矛盾とされています。Schlindwein（1994年）の研究は、この特殊性に関する深い理解をもたらしています。

参考文献

• - Cummings, James; Foreman, Matthew (1998), "The tree property", Adv. Math. 133 (1): 1-32.
• - Schlindwein, Chaz (1994), "Consistency of Suslin's Hypothesis, A Nonspecial Aronszajn Tree, and GCH", The Journal of Symbolic Logic.
• - Schlindwein, Ch. (2001) [1994], "Aronszajn tree", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

外部リンク

• - PlanetMath

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