弱コンパクト基数

弱コンパクト基数について

数学の分野において、弱コンパクト基数とは基数の一つであり、その概念は1961年にErdősとTarskiによって提唱されました。弱コンパクト基数は巨大基数に分類され、その存在は集合論の標準的な公理系からは証明できません。

基数の定義

弱コンパクト基数κが弱コンパクトであるとは、次の条件を満たすことを意味します。まず、κは非可算な基数でなければなりません。また、任意の関数f: [κ]² → {0, 1}に対して、κという濃度の集合Sが存在し、Sがfに対してhomogeneousである必要があります。ここで、[κ]²はκの全ての2要素部分集合からなる集合です。Sがfに対してhomogeneousであるとは、[S]²の要素がすべて0またはすべて1に移ることを指します。

このように、「弱コンパクト」という名称は特定の基数が弱コンパクトであるならば、対応する無限言語がコンパクト性定理の一種を満たすことを反映しています。

マーロ基数と他の定義

弱コンパクト基数はマーロ基数にも分類されます。これは、与えられた弱コンパクト基数よりも小さいマーロ基数の集合が定常集合であることを示します。中には、弱コンパクト基数の定義において条件から到達不能性を省いた、より弱い定義を使用している著者も存在します。

同値条件

非可算な基数κについて、次の条件は全て同値とされます。
1. κは弱コンパクトである。
2. 全てのλ < κおよび自然数n ≥ 2に対し、関数f: [κ]ⁿ → λが存在し、fに対してhomogeneousな濃度κの集合がある。
3. κは到達不能であり、tree propertyを満たす。
4. 濃度κの線形順序集合が順序型κの増加列または減少列を持つ。
5. κはΠ₁¹-記述不能である。
6. κはextension propertyを満たし、ある集合XとSが存在して、(Vκ, ∈, U)が(X, ∈, S)の初等部分モデルとなる。
7. 任意の濃度κの部分集合Sに対し、Sを決定する非自明なκ-完備フィルターが存在する。
8. κはκ-unfoldableである。
9. κは到達不能で、無限言語Lₖ,κが弱コンパクト性定理を満たす。
10. κは到達不能で、無限言語Lₖ,ωが弱コンパクト性定理を満たす。

ここで、言語Lₖ,κが弱コンパクト性定理を満たすというのは、高々濃度κの文の集合Σについて、濃度κ未満の部分集合が全てモデルを持つ場合、Σ自体もモデルを持つことを指します。これに類似した方法で強コンパクト基数も定義されます。

参考文献

このテーマについてさらに学ぶためには、以下の文献が参考になります。

• - Drake, F. R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 76. Elsevier Science Ltd.
• - Erdős, Paul; Tarski, Alfred (1961). On some problems involving inaccessible cardinals. Essays on the foundations of mathematics. Jerusalem: Magnes Press.
• - Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings. Springer.

弱コンパクト基数の理解は、集合論や基数の研究において重要なステップです。

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