アーベル方程式

アーベル方程式

数学におけるアーベル方程式とは、ニールス・アーベルにちなんで名付けられた函数方程式の一種であり、以下の形式で記述されます。

math
f(h(x)) = h(x+1)


あるいは、

math
α(f(x)) = α(x) + 1


これらの式は、函数 f の反復をコントロールする役割を果たします。

同値性

上記二つの方程式は同値です。実際、α を可逆函数とすると、二番目の方程式は以下のように書き換えることができます。

math
α^{-1}(α(f(x))) = α^{-1}(α(x) + 1)


ここで、x = α^-1(y) とすることで、方程式は

math
f(α^{-1}(y)) = α^{-1}(y + 1)


と書き換えられます。既知の函数 f(x) に対して、函数 α^-1 についての函数方程式を解くことが目標となります。この際、α^-1(0) = 1 のような追加条件が必要となることもあります。

実パラメータ s に対して変数変換 sα(x) = Ψ(x) を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 Ψ(f(x)) = s Ψ(x) に書き換えることができます。さらに変換 F(x) = exp(sα(x)) を施すことで、ボッチャーの方程式 F(f(x)) = F(x)^s が得られます。

歴史

アーベル方程式は、元々はより一般的な形式で記述されていました。一変数の場合でも非自明であり、特別な解析が必要とされていました。線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できます。

特殊な場合

テトレーションの方程式は、f = exp であるようなアーベル方程式の特別な場合です。整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表します。例えば、

math
α(f(f(x))) = α(x) + 2


や

math
α(f_n(x)) = α(x) + n


などとなります。

ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものです。

関連項目

函数方程式
反復函数
シュレーダーの方程式
ボッチャーの方程式
* 解析函数の無限合成

参考文献

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