アーンショーの定理

アーンショーの定理

アーンショーの定理（Earnshaw's theorem）は、空間に存在する静電場の特性に関する重要な理論です。この定理によれば、電荷の存在しない領域内で静電場が存在するとき、その領域内に荷電粒子を配置しても、その粒子は安定した平衡状態を維持することができません。アーンショーの定理の名称は、数学者のサミュエル・アーンショーに由来しています。

この定理の核心は、電位 C6（スカラー量）がラプラス方程式 C4ΔC6 = 0 を満たす調和関数であるとき、その領域内で電位 C6 は極大または極小の点を持たないということにあります。ただし、領域の境界については、この制限が適用されません。また、鞍点の存在は許容されるため、全ての点で安定性があるわけではありません。一方、ポアソン方程式が成り立つ場合には、電位の極大点が存在し得るため、状況は異なります。

アーンショーの定理は静電場にとどまらず、静磁場においても成立します。静磁場において、アンペールの法則により、磁場 B2 は周回積分が電流に等しくなることが示されています。しかし、巨視的な電流が存在しないときには、磁場 B2 にスカラーポテンシャルが適用でき、これもまたラプラス方程式を満たします。

証明の概要

この定理を直感的に説明するために、まずスカラーポテンシャル場 C6 を考えます。この場合、任意の点における電場 E5 は次のように表されます：

$$
E5 = -grad C6
$$

もしもある点で電位 C6 が極大を持つと仮定すると、その極大点を囲む小さな閉曲面を考えることができます。すると、この閉曲面の周囲の電場ベクトルは、その表面を内側から外側へ貫くことが必然的に起こります。これは、電場の勾配が極大点を指し示すためです。これにより、ガウスの法則に従い、閉曲面での電場 E5 の積分値が正となり、内部に電荷が存在することになり、はじめに立てた仮定と矛盾が生じます。

実験的な対策

物理実験を行う際、荷電粒子を捕まえる必要がある場面が多々あります。しかし、アーンショーの定理により、静的な電磁場のみでは粒子を安定的に捕捉することができないとされています。そのため、他の方法を考えなければなりません。

その一例として、イオンを捕まえるための「四重極イオントラップ」が挙げられます。このトラップは、イオンが振動する電場により捕まえられる仕組みであり、イオンに働くポンデロモーティブ力を復原力として利用しています。これにより、粒子を安定的に保持することが可能となります。すなわち、静的な手法を超えて、動的な手法を取り入れることで、粒子の捕捉が実現されているのです。

アーンショーの定理は、物理学における静電場と静磁場の理論の基盤を形成するものであり、粒子の安定性や捕捉技術に新たな視点を提供しています。

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