イデアルの根基

可換環論におけるイデアルの根基

可換環論は、現代数学において重要な役割を果たしている分野の一つです。その中でも、イデアルの根基は、環の構造を理解する上で非常に重要な概念です。この記事では、イデアルの根基について、その定義から具体的な例、そして重要な性質や応用までを詳しく解説します。

根基の定義

可換環 R のイデアル I の根基とは、R の元 r であって、「r のある正の整数乗が I に含まれる」ようなもの全体の集合です。これを数式で表すと、以下のようになります。

math
\sqrt{I} = \{r \in R \mid r^n \in I \text{ for some positive integer } n\}


直感的に言えば、I の根基は、I の元の「あらゆるベキ根」を集めたものと考えることができます。

根基イデアルとは

イデアル I が、その根基 \(\sqrt{I}\) と一致するとき、I は根基イデアルまたは半素イデアルと呼ばれます。これは、イデアルに対する「根基化」という操作の不動点と解釈できます。

具体例

整数環 \(\mathbb{Z}\) を例に、根基を具体的に計算してみましょう。

\(4\mathbb{Z}\)（4 の倍数全体のイデアル）の根基は \(2\mathbb{Z}\)（2 の倍数全体のイデアル）です。なぜなら、4 の倍数の根は 2 の倍数になるからです。
\(5\mathbb{Z}\) の根基は \(5\mathbb{Z}\) 自身です。5 は素数なので、5 の倍数の根は 5 の倍数にしかなりません。
\(12\mathbb{Z}\) の根基は \(6\mathbb{Z}\) です。12 の素因数は 2 と 3 なので、それらの積である 6 が根基を生成します。

一般に、\(m\mathbb{Z}\) の根基は \(r\mathbb{Z}\) となります。ここで、r は m のすべての素因数の積です。

重要な性質

イデアルの根基は、以下のような重要な性質を持ちます。

1. 根基の根基は根基自身: \(\operatorname{Rad}(\operatorname{Rad}(I)) = \operatorname{Rad}(I)\) が常に成り立ちます。これは、根基化操作がベキ等であることを意味します。
2. 素イデアルとの関係: \(\operatorname{Rad}(I)\) は、I を含むすべての素イデアルの共通部分に等しくなります。特に、I を含む極小な素イデアルの共通部分と一致します。
3. 商環との関係: イデアル I が根基イデアルであることと、商環 \(R/I\) が被約（ベキ零元を持たない）であることは同値です。
4. 準素イデアルとの関係: 準素イデアルの根基は常に素イデアルとなります。また、イデアル I の根基が極大イデアルであれば、I は準素イデアルです。

根基の応用：ヒルベルトの零点定理

根基の研究は、可換環論における重要な定理であるヒルベルトの零点定理と深く関連しています。ヒルベルトの零点定理は、代数幾何学において、多項式環のイデアルと、そのイデアルによって定義される代数多様体の間の関係を記述する基本的な定理です。

この定理の簡単なバージョンは、次のように述べられます。代数的閉体 k 上の n 変数多項式環 \(k[x_1, x_2, ..., x_n]\) において、任意のイデアル J に対して、

math
\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \operatorname{Rad}(J)


が成り立ちます。

ここで、

\(\operatorname{V}(J)\) は、J に属するすべての多項式が 0 になる点の集合（代数多様体）を表します。
* \(\operatorname{I}(S)\) は、集合 S 上で 0 になるすべての多項式からなるイデアルを表します。

この定理は、多項式環のイデアルと、それによって定義される代数多様体の間の深い関係を示しており、代数幾何学における基本的な結果の一つです。

まとめ

この記事では、可換環論におけるイデアルの根基について、その定義、例、性質、そして応用について解説しました。根基は、環の構造を理解する上で非常に重要な概念であり、ヒルベルトの零点定理などの重要な定理とも深く関連しています。この記事が、可換環論を学ぶ上で役立つことを願っています。

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