整数

整数の定義と性質

整数とは、1を含む自然数 (1, 2, 3, 4, …)、その負数 (−1, −2, −3, −4, …)、および0を合わせた数の総称です。整数全体の集合は आमに \\mathbf{Z} または \\mathbb{Z} で表され、これはドイツ語の「Zahlen」から由来しています。

整数の拡張

自然数だけでは出現する引き算の問題を解決できないため、「負の整数」を導入することで整数の概念が広がります。この追加により、任意の整数に対して加法と乗法が可能になり、さらに引き算も自由に行えるようになります。

たとえば、$a + x = b$ という形の方程式では、整数$a$と$b$に対して必ず一意の解$x$が存在します。自然数$n$に対して、$-n$を導入し、これを「負の整数」と呼びます。これにより、正の整数、0、および負の整数の間での演算が容易になり、実際の数とその性質をより深く理解できるようになります。

歴史的背景

負の数に関する最古の記述は、1世紀から2世紀にかけて書かれた古代中国の『九章算術』でのもので、ここでは0や負の数に対する加減算が扱われています。また、インドの数学者のアリヤバータも、この時期に負数に関する重要な法則を定めています。古代の数学者たちは、負の数を物理的な量や負債などの実世界の概念と関連付けて理解しようとしました。

整数の概念がヨーロッパで再登場したのは遅く、特に16世紀以降に数に関する規則が整備され、整数の正負を明確に使った計算が進展しました。しかし、整数が厳密に定義されるのは19世紀になってからで、数学の基礎をより厳密に定義しようとする流れの中で、整数は無限群としての性質も持つことが明らかになりました。

整数の性質

整数は、加法に関してアーベル群の性質を持ち、任意の整数$n$は次のように表されます。

$$
n = egin{cases} ext{1をn回足す} & (n > 0) \\ 0 & (n = 0) \\ ext{−1を|n|回足す} & (n < 0) \\ ext{関数の定義}
\\ \\
$$

このように、整数は生成すると考えられる1の冪であり、整数同士の加算や乗算はうまく定義されています。具体的には、整数全体$Z$は単位的可換環として、様々な数の計算を支えます。この環にはゼロ因子が存在せず、逆元を持つものとしては±1しか存在しないため、整数は整域と定義されます。

整数環の性質

整数環$Z$はユークリッド整域であり、整数の最大公約数が保証される構造を持っています。任意の整数$a$と$b$に対し、余りのある除法を定義するならば、$a = qb + r$という形で表すことが可能です。

このような性質は、算術の基本定理に結びついており、任意の整数が素数の積として一意に表現できることが示されています。これは数論の根本的な事実であり、数学的証明において重要な役割を担います。

整数の順序関係

整数には通常の大小関係があり、それは全順序関係として成立します。この順序関係は次の性質を持ちます:

• - $a < b$ かつ $c < d$ ならば、$a + c < b + d$ が成り立ちます。
• - $a < b$ かつ $0 < c$ ならば、$ac < bc$ が成り立ちます。

このようにして、整数は順序環ともなり、正の整数と負の整数とが明確に区別されることができます。これにより、整数そのものが持つ算術的性質がさらに広がることになります。

自然数との関係

自然数全体の集合$N$は、負数が含まれないが整数全体の集合$Z$を形成する上で基盤になります。自然数の加法と乗法から、同値関係を導入して整数を厳密に構成する手法はいくつも存在します。これは任意の数学的な体系において非常に重要な概念となっています。

整数の理解を深めることは、数学全般の理解にもつながります。整数は計算の基礎であり、多くの数学的概念の中核をなしています。

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