イプシロン-デルタ論法

ε-δ論法とは

解析学において、ε-δ論法（イプシロンデルタろんぽう）は、関数の極限を厳密に定義するための基本的な手法です。従来の直感的な「限りなく近づく」といった表現は、無限という概念を直接扱っているため厳密性に欠ける側面がありました。ε-δ論法は、実数という有限の値のみを用いることで、この曖昧さを排し、極限の概念を明確かつ厳密に定義することを可能にしました。

名称にあるε（イプシロン）とδ（デルタ）は、定義の中で使われる特定の正の数を指す慣例的な記号です。εは通常、関数値の目標値からの「許容される誤差」を表し、δは変数が極限となる点にどれだけ「十分に近く」なければならないかを表します。

歴史的背景

微分積分学は17世紀にニュートンとライプニッツによって創設されましたが、当時は無限小や無限大といった、実数の範囲では明確に定義しがたい概念が用いられていました。18世紀を通じてオイラーなどによって大きく発展しましたが、級数の収束・発散に関する厳密な定義がないまま議論が進められたため、誤った結論に至ることも少なくありませんでした。

19世紀に入ると、コーシーやボルツァーノといった数学者たちが、より厳密な基礎の上に解析学を再構築しようと試みました。この流れの中で、収束や連続性の定義が精密化されていきます。ε-δ論法は、1860年代にカール・ワイエルシュトラスの講義を通じて現在の形に完成されたとされており、これにより無限小や無限大を直接使うことなく、極限や連続性が厳密に定義できるようになりました。

コーシーは著書『解析教程』で関数の連続性をε-δの考え方で定義しましたが、この時点では連続性と一様連続性の区別が明確でなかったため、彼自身もその区別に起因する誤りをおかしています。

なお、ε-δ論法の確立により一度は数学の表舞台から退いた無限小を用いる解析学ですが、現代では超実数などの概念に基づく超準解析として、再び研究されています。

関数の極限の定義

ε-δ論法による関数の極限の定義は以下のようになります。実関数 f(x) について、x が a に限りなく近づくとき f(x) が b に収束する（記号で $\lim_{x\to a} f(x) = b$ と書く）とは、次の条件が満たされることです。

「任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、0 < |x − a| < δ を満たす全ての実数 x について、|f(x) − b| < ε が成り立つ。」

これは論理記号を用いると、$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ s.t. } \forall x \in \mathbb{R} \; [0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon]$ と表現されます。

この定義のポイントは、どんなに小さな「誤差の許容量」ε を指定されても、それに応じた「入力の許容範囲」δ を見つけ出すことができる、という点です。ε と δ はいずれも有限の値ですが、ε をいくらでも小さく取れるという点が「限りなく近づく」という極限の概念を捉えています。一般に、与えられた ε に対して見つかる δ は一つだけとは限らず複数存在し得ますが、定義を満たす δ が少なくとも一つ「存在する」ことが重要です。また、δ は通常、ε の値に依存して決まります。

例えば、$\lim_{x\to 3} x^2 = 9$ を示すには、任意の ε > 0 に対して、適切な δ > 0 を見つける必要があります。ここでは δ として $\sqrt{\varepsilon+9}-3$ を選ぶと、0 < |x - 3| < δ ならば |x² - 9| < ε となることが示せます。このように、ε-δ論法は具体的な計算によって極限値の正しさを示すための道具となります。

数列の極限（ε-N論法）

数列の極限についても、同様に厳密な定義が与えられます。実数列 a₁, a₂, ..., a𝚗, ... が b に収束する（記号で $\lim_{n\to \infty} a_n = b$ と書く）とは、次の条件が満たされることです。

「任意の正の数 ε に対して、ある自然数 N が存在し、N より大きい全ての自然数 n について |a𝚗 − b| < ε が成り立つ。」

これは論理記号を用いると、$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ s.t. } \forall n \in \mathbb{N} \; [n > N \Rightarrow |a_n - b| < \varepsilon]$ と表現されます。

この定義では、ε に対して「ある番号 N」が存在することが重要です。N より後の項はすべて、目標値 b の ε 近傍に入る、という意味です。関数値の極限におけるδと同様に、この N も ε の値に依存します。ε が小さくなれば、それに応じて N は大きくなる必要があります。この定義はε-δ論法と類似していますが、変数が離散的な自然数であるため、δの代わりに自然数Nを用いることからε-N論法（イプシロンエヌろんぽう）と呼ばれます。

関数の連続性

関数の連続性も、ε-δ論法を用いて厳密に定義されます。実関数 f(x) が点 x = a で連続であるとは、$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ が成り立つことと定義されます。これをε-δ論法で書き直すと以下のようになります。

「任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、|x − a| < δ を満たす全ての x について、|f(x) − f(a)| < ε が成り立つ。」

ここでは、極限の定義と異なり x=a も許容されますが、|x-a|<δ の条件は x=a を含むので、結果的に同じです。定義域が閉区間の場合、端点では片側極限を用いた連続性が同様に定義されます。

一様連続性

連続性の定義において、δがεの値だけでなく、定義域内の点 a の位置にも依存する可能性があります。これに対し、δがεの値のみに依存し、定義域内のどの点 a を選んでも共通の δ が取れる場合、関数は一様連続であるといいます。

一様連続性の定義は次のようになります。

「任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、定義域内の任意の2点 x, a について、|x − a| < δ ならば |f(x) − f(a)| < ε が成り立つ。」

論理記号では、$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ s.t. } \forall x, a \in I \; [|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon]$ となり、連続性の定義と「$\forall a$」と「$\exists \delta$」の順序が入れ替わっている点が重要です。

例えば、関数 f(x) = 1/x は、区間 (0, 1] 上で連続ですが、一様連続ではありません。これは、点 a が 0 に近づくにつれて、同じ ε に対してより小さな δ を取らなければならないため、点 a に依らずに共通の δ を見つけることができないからです。

関数列の収束

関数列 {f𝚗(x)} の収束にも、ε-N論法が応用されます。関数列が関数 f(x) に各点収束するとは、定義域内の各点 x ごとに、数列 {f𝚗(x)} が f(x) に収束することです。

「任意の正の数 ε に対して、定義域内の任意の点 x について、ある自然数 N が存在し、n > N を満たす全ての n について |f𝚗(x) − f(x)| < ε が成り立つ。」

この定義では、N は ε と点 x の両方に依存します。

これに対して、関数列 {f𝚗(x)} が f(x) に一様収束するとは、N が点 x に依存せず、ε のみで定まる場合を指します。

「任意の正の数 ε に対して、ある自然数 N が存在し、定義域内の任意の点 x と、n > N を満たす全ての n について |f𝚗(x) − f(x)| < ε が成り立つ。」

論理記号では、$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ s.t. } \forall x \in I, \forall n \in \mathbb{N} \; [n > N \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon]$ となり、ここでも各点収束の定義と「$\forall x$」と「$\exists N$」の順序が入れ替わっています。

各点収束する関数列の極限関数（収束先関数）が必ずしも連続になるとは限りませんが、一様収束する関数列の極限関数は、元の関数列が連続であれば連続になります。この性質は、関数列の極限をとる操作と他の操作（積分など）との順序交換を正当化する上で非常に重要です。

まとめ

ε-δ論法およびε-N論法は、曖昧な無限の概念に頼らず、有限の実数と論理操作のみで極限、連続性、収束といった解析学の基本的な概念を厳密に定義するための強力なツールです。これらの定義は、微積分学の主要な定理を証明する上で不可欠な基礎となります。その教育上の位置づけについては、厳密な数学的思考の養成に不可欠とする意見がある一方で、応用分野では必ずしも必要とされないという意見もあり、議論の対象となっていますが、現代解析学の基盤としてその重要性は揺るぎません。

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