一様連続

一様連続（いちようれんぞく）

数学の分野において、一様連続（uniformly continuous）とは、関数の連続性という性質を、定義域全体にわたって一様な仕方で満たすという、より強い条件を課した概念です。通常の連続性が「定義域内の各点において、その点の近くでの関数値の変化が滑らかである」ことを示すのに対し、一様連続性は「定義域内のどの点を選んでも、入力値をわずかにずらしたときの関数値の変化が、その選んだ点に依存せず、全体として同じような小さな範囲に収まる」ことを意味します。

この性質は、解析学、特に微分積分学や位相空間論において非常に重要であり、関数の極限操作や積分に関する様々な定理を証明する際に不可欠となります。直感的には、関数のグラフを考えたときに、入力軸（横方向）上のどんな位置に小さな「窓」を置いても、それに対応する出力軸（縦方向）の関数値の変化が一様に小さい、というようなイメージです。

イプシロン-デルタによる定義

一様連続性は、厳密な議論のためにイプシロン-デルタ論法を用いて定義されます。二つの距離空間 $(X, d_X)$ および $(Y, d_Y)$ の間の関数 $f: X o Y$ が一様連続であるとは、次を満たすことと定義されます。

任意の正の数 $\varepsilon > 0$ をどのように選んだとしても、ある正の数 $\delta > 0$ が存在し、定義域 $X$ 内の任意の二点 $p$ と $q$ について、その距離 $d_X(p, q)$ が $\delta$ より小さいならば、対応する関数値 $f(p)$ と $f(q)$ の距離 $d_Y(f(p), f(q))$ が $\varepsilon$ より小さくなる。

これを記号で表すと以下のようになります。

$\qquad \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \; ; \; (\forall p, q \in X \; ; \; d_X(p, q) < \delta), d_Y(f(p), f(q)) < \varepsilon$

通常の連続性の定義では、$\delta$は$\varepsilon$だけでなく、定義域内の点（関数値の変化を考える「中心の点」）にも依存しますが、一様連続性の定義では、$\delta$は$\varepsilon$のみに依存し、点の位置には依存しないという点が本質的な違いです。

連続性との比較

一様連続な関数は必ず連続関数です。しかし、連続関数が一様連続であるとは限りません。反例として、実数全体で定義された関数 $f(x) = x^2$ や、開区間 $(0, \infty)$ で定義された関数 $g(x) = 1/x$ などが挙げられます。これらの関数はそれぞれの定義域で連続ですが、定義域の端の方や無限遠方では、入力のわずかな変化に対して関数値が急激に変化するため、定義域全体で共通の$\delta$を選ぶことができず、一様連続ではありません。

ハイネ・カントールの定理

ただし、関数の定義域が特別な性質を持つ場合には、連続性から一様連続性が導かれます。最も有名なのはハイネ・カントールの定理で、「コンパクト空間から一様空間への連続写像は一様連続である」と主張します。特に距離空間においては、「ユークリッド空間内の有界閉集合（コンパクト集合）上で定義された連続関数は一様連続である」という形でよく知られています。

一様空間への拡張

一様連続性の概念は、距離空間だけでなく、距離を持たないより一般的な一様空間の間で定義される関数に対しても拡張されます。一様空間は「近さ」や「一様性」を抽象的に捉える枠組みであり、その上の写像 $f: X o Y$ が一様連続であるとは、 $Y$ の任意の近縁 $V$ （$Y imes Y$の部分集合で、点の「近さ」を表す）に対して、 $X$ の適切な近縁 $U$ が存在し、任意の $x, y \in X$ について、$(x, y) \in U$ ならば $(f(x), f(y)) \in V$ が成り立つことと定義されます。

一様空間と一様連続写像は「圏」を形成し、特に全単射な一様連続写像で逆写像も一様連続であるものは一様同型と呼ばれ、一様空間としての構造を完全に保つ写像とみなされます。

一様連続写像は、一様空間が持つ一様性という構造を保存する写像であり、一様空間論における主要な研究対象の一つです。

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