ウィルコクソンの符号順位検定

ウィルコクソンの符号順位検定について

ウィルコクソンの符号順位検定（Wilcoxon signed-rank test）は、統計分析において重要な役割を果たすノンパラメトリック検定法です。この手法は、対応のある二つの標本によるデータの差を評価するために設計されています。具体的には、各対象に対して二回の測定を行い、それによって得られたデータを基に、中央値がゼロであるという帰無仮説のもとで検定を行います。この検定法は、フランク・ウィルコクソン（Frank Wilcoxon）によって開発され、そのため彼の名前が冠されています。

検定の方法

検定を行うにあたって、まずn個の対象に対して2回の測定を行います。これらの測定値はそれぞれ$x_i$（1回目）と$y_i$（2回目）で表されます。次に、各対象についての差を$Z_i = Y_i - X_i$と定義し、これを用いて検定を進めます。

重要な仮定として、各差$Z_i$は独立であり、また共通の中央値$ heta$（この場合、帰無仮説として$ heta = 0$）を中心に対称な分布を持つとされます。

次に、絶対値$|Z_1|, |Z_2|,
ightarrow |Z_n|$を順に並べ、その順位を$R_i$とします。この順位を基に、ウィルコクソンの符号順位統計量$W^+$を次のように計算します。

$$
W^{+} = ext{sum}( ext{I}(Z_i > 0) R_i)
$$

ここで、$ ext{I}(.)$は指示関数で、$Z_i > 0$のときに1、そうでなければ0をとります。このようにして得られた$W^+$は、対差の正の値に関連する順位の合計を示します。

この手法は、特に前後のデータを収集した際に、中心点（中央値）が0になることが期待される場合の差を検定する際によく使われます。この際、中心点と完全に一致するデータ（つまり$Z_i=0$のデータ）を除外し、残りについての偏差の絶対値を順位化します。

p値の計算

得られた順位の和に基づいて順序分布の数表と比較し、p値を算出します。p値は、得られた順位和が中心点の周辺に対称に分布している母集団から得られる確率を示すものであり、具体的には$p$値が小さいほど帰無仮説が棄却される可能性が高くなります。

nが十分に大きい場合、すなわちnが10以上のときは、$W^+$の分布は正規分布に近似されるため、検定には正規分布の特性が使われることが一般的です。そのため、サンプル数が増えることで検定の精度が向上し、実務でも広く利用されます。

まとめ

ウィルコクソンの符号順位検定は、特にデータが正規分布に従わない場合や標本が小さい場合に有効な検定法です。データの中央値の比較を行う際に、ノンパラメトリックな手法として非常に有用であり、様々な分野で幅広く応用されています。

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