正規分布

正規分布

正規分布、またはガウス分布は、確率論および統計学で特に重要な連続確率分布です。この分布は、データが平均値の周辺に集まるという特性を持ち、確率変数がその中心付近に集積する傾向を示します。正規分布の特徴的な性質として、平均、最頻値、中央値が同じ値を持ち、また左右対称であることが挙げられます。

中心極限定理

中心極限定理は、独立同分布の確率変数の和が、標本数が十分に大きくなると正規分布に近づくという理論です。このため、正規分布は、自然科学や社会科学の多くの場面で複雑な現象を簡潔にモデル化するために利用されています。例えば、測定誤差のデータが正規分布に従うと仮定され、確かめられることが多いです。

確率密度関数

正規分布の確率密度関数は次のように定義されています：

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

ここで、μは平均、σ^2は分散を表します。この式から、正規分布はベル型の曲線を描くことがわかります。特に平均が0、分散が1の場合、これを標準正規分布と呼び、式は次のようになります：

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{x^2}{2} \right)
$$

再生性

正規分布は再生性を持つ特徴があります。すなわち、いくつかの独立な正規分布に従う確率変数の線型結合もまた正規分布に従います。これは、統計的な推論において非常に便利な性質です。

多変量正規分布

正規分布には、複数の変数を考慮した多変量正規分布も存在します。n次元正規分布は、平均と共分散行列を使って定義され、次のように表されます：

$$
f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2} |\Sigma|^{1/2}} \exp\left( -\frac{1}{2}(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu) \right)
$$

ここで、Σは分散共分散行列を示します。この分布は、複数の変数間の相関を示すことができ、非常に幅広い応用が可能です。

歪正規分布

正規分布の拡張として、特定の非対称性を持つ歪正規分布もあります。これは、三つのパラメータを持ち、その中の一つが零の場合、元の正規分布になるという特性を持っています。

正規分布の利用

正規分布は、実験データの分析において頻繁に用いられます。特に、推定や検定などの統計的手法で重要です。点推定や区間推定を行う際、正規分布の性質を利用することで、より信頼性の高い結果が得られます。

統計的な意味

標準正規分布に基づけば、標本平均の周りのデータがどの程度の確率である範囲に収まるかを計算できます。これは、68.27%の確率で1σ以内、95.45%で2σ以内、99.73%で3σ以内に含まれます。この性質は、仮説検定や推定方法において非常に重要です。

結論

正規分布は、統計学や確率論において中心的な役割を果たし、多くの現象のモデルとして利用されています。特に、データ分析や科学的研究において頻繁に参照される重要な概念です。

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