ウェルチのt検定

ウェルチのt検定とは

ウェルチのt検定は、2つの母集団が同じ平均を持つかどうかを検証するための統計的手法です。この手法は、等分散を仮定しないため、記録データの分散が異なる可能性がある状況で特に有用です。また、ウェルチのt検定は、従来のスチューデントのt検定の改良版とも見なされており、「ウェルチ＝アスピン検定」と呼ばれることもあります。

検定の構造

ウェルチのt検定では、以下の式を用いてt統計量を算出します。

\[ t = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{N_1} + \frac{s_2^2}{N_2}}} \]

ここで、\( \overline{X}_i \) は各標本の平均、\( s_i^2 \) は不偏分散、\( N_i \) はサンプルサイズを示します。この式からもわかるように、分母は合併分散の推定に基づかず、より実際のデータに基づいた計算が行われています。これに加えて、ウェルチのt検定では自由度\(
u \)も推定する必要があります。これは、ウェルチ-サタスウェイトの式に基づいて計算されます。

\[
u \approx \frac{\left(\frac{s_1^2}{N_1} + \frac{s_2^2}{N_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{N_1^2
u_1} + \frac{s_2^4}{N_2^2
u_2}} \]

ここで、\(
u_i = N_i - 1 \) であり、各推定分散に関連する自由度を示します。この自由度の推定は、ウェルチが1938年に提案したものから来ており、異なる標本の分散を考慮したより適切な分析を提供します。

検定の実施

t統計量と自由度\(
u \)が計算できた後、ウェルチのt検定を実施することが可能です。この際、「母集団の平均は等しい」という帰無仮説を検定します。これには両側検定を用いることが多いですが、一方の平均が他方よりも大きいという片側検定も行うことができます。

具体的には、得られたp値を基にして帰無仮説の棄却か採択を判断します。p値が事前に設定された有意水準よりも小さい場合、帰無仮説は棄却され、母集団の平均が異なる可能性が示されています。

参考文献

ウェルチのt検定に関する文献も多数存在します。特に、以下の資料は有用です：

• - Daniel Borcard (講義ノート付録) と Legendre, P. と D. Borcardによる「Statistical comparison of univariate tests of homogeneity of variances」からの抜粋
• - Shlomo S. Sawilowsky (2002)による「Fermat, Schubert, Einstein, and Behrens–Fisher: The Probable Difference Between Two Means When σ1 ≠ σ2」

このように、ウェルチのt検定は、実務や研究において非常に重要なツールとされています。

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