自由度

自由度：多様な分野における変数の独立性

自由度とは、システムやデータにおいて、独立に決定できる変数の数を指します。言い換えると、全変数の数から、それらの間に存在する相互関係（束縛条件）の数を差し引いたものです。数学的には、多様体の次元と捉えることができます。

この概念は、力学、機構学、統計学など、様々な分野で用いられています。しかし、それぞれの分野において、自由度の具体的な意味合いは微妙に異なります。以下では、それぞれの分野における自由度の解釈と計算方法について詳しく見ていきましょう。

1. 力学における自由度

力学において、自由度は系の構成要素（質点など）が空間内で自由に移動できる方向の数を表します。

1質点系: 3次元空間において質点が自由に移動できる場合、並進運動（x, y, z方向）の3つの自由度を持ちます。
2質点系: 各質点が独立に運動する場合、2質点×3自由度/質点 = 6自由度となります。しかし、質量中心と重心まわりの回転、そして2質点間の距離という表現を用いることも多く、この場合、並進3自由度、回転2自由度、振動1自由度と表現されます。
* 剛体: 3つ以上の質点からなり、質点間の距離が一定に保たれる系を剛体といいます。剛体の自由度は、並進3自由度と回転3自由度の合計6自由度となります。ただし、平面上の運動に制限される場合は、並進2自由度、回転1自由度の合計3自由度となります。

2. 機構学における自由度

機構学では、機構全体の構造を決定する可動変数の数を自由度と定義します。機構を構成する各リンクは剛体とみなされ、力学における定義と類似しています。リンク間の接合部（対偶）によって拘束条件が代数的に表現されるため、自由度の計算式を比較的容易に導出することができます。

平面上の機構において、自由度1の対偶をn1個、自由度2の対偶をn2個持つn個のリンクからなる機構の自由度fは、以下の式で表されます。

`f = 3(n - 1) - 2n1 - n2`

ここで、nはリンクの数、n1は自由度1の対偶の数、n2は自由度2の対偶の数です。また、機構を構成するリンクの1つは空間に固定されていると仮定します。

立体構造を持つ機構の自由度は、以下の式で表されます。

`f = 6(n - 1) - Σi(6 - i)ni`

ここで、niは自由度iの対偶の数です。

移動機構（例：脚型ロボット、人工衛星）では、基底リンクは空間に固定されておらず、仮想的に慣性系に結合されているとみなされます。この場合、慣性系もリンクの一つとして扱う必要があります。

車輪型移動機構の場合、車輪が路面に対して滑らない場合、非ホロノミック拘束条件が加わり、自由度の計算は単純ではありません。

3. 熱力学における自由度

熱力学では、平衡状態において自由に変化できる状態変数の数を自由度と呼びます。

C個の成分からなるP相が平衡状態で存在する場合、ギブズの相律によって自由度Fは以下のように表されます。

`F = C - P + 2`

この場合、2個の状態変数に加え、各成分の割合（から相の数を引いたもの）で状態を記述できます。例えば、純水が液相のみで存在する場合(C=1, P=1)、自由度は2となります。これは、温度と圧力、または温度と体積など、2つの状態変数で状態を記述できることを意味します。

4. 統計学における自由度

統計学では、様々な統計量に対して自由度が定義されています。大きさnの標本における観測データ(x1, x2,…,xn)の自由度はnです。標本平均xについても同様です。

不偏分散s²の計算においては、標本平均xを用いるため、自由度はn-1となります。これは、標本平均xがデータから計算されるため、独立なデータの数がn-1個に減少するためです。そのため、不偏分散の分母にはn-1を用います。日本工業規格では、「カイ二乗分布、F分布、t分布などのパラメータ」として定義されています。

このように、自由度は様々な分野で用いられる重要な概念であり、それぞれの分野における具体的な定義と計算方法を理解することが重要です。

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