ウォルステンホルム素数

ウォルステンホルム素数

ウォルステンホルム素数とは、特定の性質を持つ素数であり、数論においての重要な概念です。これらの素数は19世紀の数学者ジョセフ・ウォルステンホルムの理論に基づいており、彼の定理が示す興味深い特性に基づいています。特に、5以上の素数において、その素数を用いて作られる特定の分数の性質に関連しています。

ウォルステンホルム素数の定義

ウォルステンホルム素数は、いくつかの数学的な定義を持ちます。これらの定義は互いに関連し合っており、異なる視点から同じ素数を捉えることができます。

二項係数による定義

ウォルステンホルム素数は、個々の素数 p が次の式を満たす場合に定義されます。

$$
{2p-1 rack p-1} ext{ } ext{mod } p^{4} ext{ が 1 になること}
$$

この式により、素数 p が持つ特別な性質を明らかにします。また、ウォルステンホルムの定理によれば、すべての素数 p > 3 に対して、別の式も成り立つことが知られています。

ベルヌーイ数による定義

さらに、ウォルステンホルム素数はベルヌーイ数 Bp−3 の分子を割り切る素数とも定義されます。これは、非正則素数の一部を形成することを意味しています。

調和数に基づく定義

調和数 H_{p-1} を用いる定義もあります。ここで、素数 p が H_{p-1} を既約分数で表したときの分子が p^3 で割り切れる場合、それがウォルステンホルム素数であるとされます。

ウォルステンホルム素数の発見と研究

このような特性を持つ素数に対する興味は、1960年代に始まり、以降数十年にわたって続いています。最初に発見されたウォルステンホルム素数は16843で、1964年に報告されましたが、その発見は当初明確にはされず、後に独立して確認されました。その後、1993年には2124679が新たに発見され、知られているウォルステンホルム素数はこれら2つとされています。

現在までに、1.2×10^7までの範囲にはこれら以外のウォルステンホルム素数は見つかっていませんが、研究は進んでおり、努力が続けられています。範囲を広げる試みも行われており、特定の範囲内のウォルステンホルム素数の存在はまだ確認されていません。

ウォルステンホルム素数の個数について

ウォルステンホルム素数が無限に存在するという予想があります。また、素数定理に基づくと、x以下のウォルステンホルム素数の個数は約 ln ln x に従うとされています。このことから、今後の研究によって新たな発見がある可能性が期待されています。

このように、ウォルステンホルム素数は数論において非常に魅力的な対象であり、数々の理論や研究に繋がる重要な位置を占めています。

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