調和数

調和数について

調和数（ちょうわすう、英: harmonic divisor number）は、自然数の中で特定の数学的性質を持つ数です。具体的には、全ての正の約数の調和平均が整数値として表現される数を指します。もっとも基本的な調和数は 1 であり、次に 6 が続きます。

例えば、6 の約数は 1, 2, 3, 6 の 4 種類です。これらの正の約数に対する調和平均を計算すると、次のようになります。

$$
rac{4}{rac{1}{1} + rac{1}{2} + rac{1}{3} + rac{1}{6}} = 2
$$

この計算結果が整数であるため、6 は調和数とされます。

調和数の判定法

調和数であるかどうかを確認する方法は、自然数 n に対して次の条件が満たされるかを見ます。具体的には、以下の式が割り切れるかどうかを検討します。

$$n imes rac{ ext{約数の個数}}{ ext{約数の総和}}$$

この判定には約数関数が関与し、約数の数やその合計値を活用します。調和数の存在羽については、無限に存在するかどうかは未だ明らかにされていません。

奇数の調和数

興味深いことに、1 以外の奇数の調和数は現在まで発見されていません。また、そもそも奇数の調和数が存在するか否かも確定していないのです。この点からも、調和数は謎多き数としての側面があります。

完全数との関連

完全数は偶数のみが確認されており、その定義から、偶数の完全数 m については、m の約数の総和が 2m となることが知られています。また、m の約数の個数も偶数となるため、完全数は必然的に調和数ともなります。

調和数の一般的な列は次のようになります：

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, …（この列はオンライン[[整数列大辞典]]の数列 A001599 に登録されています）

これらの調和数に対する正の約数の調和平均もまた別の系列として記録されており、以下の値が得られます：

1, 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9, 11, 10, 7, 15, …（これもオンライン[[整数列大辞典]]の数列 A001600 で確認できます）

その他の関連事項

調和数は、自然数 n までの逆数の和、いわゆる調和級数の部分和に関連する概念としても使われることがあります。この場合の調和数は n ≥ 2 では整数値に至らないことがわかっています。別の観点から、完全数が含まれる調和数を「オアの調和数」と呼ぶ場合があります。これは1948年にこの概念を提唱した数学者オアに由来しています。

脚注

この内容は、調和数に関連するさまざまな数学的情報を整理したものです。

関連項目

• - 完全数
• - 調和級数
• - 調和平均
• - 約数関数

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