エトベス数

エトベス数：浮力と表面張力のバランス

エトベス数 (Eötvös number, Eo) とは、流体における浮力と表面張力の相対的な強さを表す無次元数です。液滴や気泡の挙動、特にそれらの形状やサイズを決定する上で重要な役割を果たします。この数は、19世紀後半にハンガリーの物理学者エトヴェシュ・ロラーンドによって導入され、ボンド数 (Bond number) とも呼ばれています。

エトベス数の定義

エトベス数は以下の式で定義されます。

Eo = (Δρ g L^2) / σ

ここで、

Δρ: 密度差 (液滴と周囲流体の密度差)
g: 重力加速度
L: 代表長さ (液滴の直径など)
σ: 表面張力

となります。この式は、重力によって引き起こされる浮力と、表面張力によって生じる表面エネルギーの比を表しています。Eo が大きい場合、浮力の影響が支配的で、液滴は球形から大きく歪みます。逆に Eo が小さい場合、表面張力の効果が強く、液滴はほぼ球形を保ちます。

エトベス数の導出と応用

エトベス数の有用性を示す例として、油滴を水中に落下させる実験を考えましょう。油滴の直径 d は、注射針の内径 a、水と油の密度差 Δρ、重力加速度 g、そして水と油の界面張力 σ によって決まります。次元解析を用いると、以下の関係式が得られます。

d/a = k Eo^q

ここで、k は無次元定数、q は指数です。この式から、油滴の直径はエトベス数によって決定されることがわかります。この関係は、表面張力の測定や微量液滴の流量計測に応用できます。

水面の盛り上がり

コップなどの容器に水を満たすと、水面は容器の縁で盛り上がります。この盛り上がり高さ h は、ヤング・ラプラスの式とエトベス数を使って表現できます。容器の直径を d とし、水の密度を ρ とすると、以下の関係が成り立ちます。

h/d = Eo^(-1) + √(Eo^(-1)(Eo^(-1) + c))

ここで、c は容器の縁の形状や水の状態によって決まる定数 (c = 1, 2, 3) です。この式は、エトベス数が小さいほど、つまり表面張力の効果が強いほど、水面が大きく盛り上がることを示しています。

毛管長

毛管長 l は、以下の式で定義される長さです。

l = √(σ / (Δρ g))

毛管長は、表面張力と重力の効果が同程度になる長さの目安となります。エトベス数は、代表長さ L と毛管長 l の比を用いて、次のように表すこともできます。

Eo = (L/l)^2

水の場合、毛管長は約 2.7 mm です。

まとめ

エトベス数は、浮力と表面張力のバランスを定量的に評価する上で重要な無次元数です。液滴や気泡の挙動、水面形状などの現象を理解する上で役立ち、表面張力の測定や微量液滴の流量計測など、様々な応用が期待できます。毛管長との関係も理解することで、流体現象のより深い理解につながります。

もう一度検索