ヤング・ラプラスの式

ヤング・ラプラスの式

ヤング・ラプラスの式は、曲率を持つ気相と液相の界面における、二つの相間の圧力差と界面の曲率を関連付ける重要な方程式です。この式は、表面張力と曲率が界面にどのように影響を与えるかを理解するために不可欠です。

式の表現

表面張力を \( \gamma \)、界面の二つの曲率半径を \( R_1 \) と \( R_2 \) とすると、圧力差 \( \Delta p \)（ラプラス圧または毛管圧と呼ばれる）は以下の式で表されます。

\begin{equation}
\Delta p = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)
\end{equation}

ここで、\( \Delta p \) は液相と気相の間の圧力差を表し、\( \gamma \) は表面張力、\( R_1 \) と \( R_2 \) はそれぞれ界面の二つの曲率半径を示します。

圧力差と曲率の関係

表面張力は界面の面積を最小化しようとする力であるため、圧力差が存在しない場合、界面は平面になります。したがって、界面に曲率を持たせるためには、二つの相間に圧力差が必要です。

ラプラス圧 \( \Delta p \) を \( p_{\text{liquid}} - p_{\text{gas}} \) と定義するとき、曲率は界面が液相側から気相側に向かって凸に曲がっている場合を正とします。例えば、気体中に球形の液滴がある場合、二つの曲率はともに正であり、\( \Delta p > 0 \) となります。これは、液滴内部の圧力が外部よりも大きいことを意味します。鞍点のように二つの曲率が異符号である場合、界面内外のどちらの圧力が大きいかは \( R_1 \) と \( R_2 \) の値によって決まります。

曲率半径の選択

曲率半径は、界面の任意の直交する、法線ベクトルを含む二つの平面に対して定義できます。これは、微分幾何学において、二つの曲率半径が互いに直交する面に対して決定されていれば、\( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \) の値は一定であることが示されているためです。通常、主曲率が用いられることが多いですが、この性質から任意の直交する平面での曲率を使用できます。

名称の由来

この式は、トマス・ヤングとピエール＝シモン・ラプラスという二人の科学者にちなんで名付けられました。彼らの貢献が、界面現象の研究における基礎を築いたのです。

具体例

水中に存在する半径 \( R \) の気泡内部の圧力は、外部の圧力と比較して \( \Delta p = \frac{2 \gamma}{R} \) だけ大きくなります。たとえば、\( R = 1 \text{ mm} \) の場合、\( \Delta p = 144 \text{ Pa} \) となり、\( R = 10 \text{ nm} \) の場合は、\( \Delta p = 1.44 \times 10^7 \text{ Pa} \) と非常に大きな圧力差が生じます。この例は、微小な曲率半径が大きな圧力差を生み出すことを示しています。

まとめ

ヤング・ラプラスの式は、界面の曲率と圧力差の関係を定量的に記述する上で非常に重要なツールです。この式を用いることで、液滴、気泡、毛管現象など、様々な界面現象を理解し、予測することが可能になります。工学、物理学、化学などの分野で広く応用されており、界面科学の基礎をなす重要な概念の一つです。

もう一度検索