エルゴード定理

エルゴード定理

エルゴード定理（ergodic theorem）は、数学の中で特に力学系論において重要な役割を果たす定理であり、時間平均と空間平均が一致することを示しています。この定理の研究は、統計力学や確率論と密接に関連しています。特に、古典的力学系における挙動を理解するための鍵となる理論です。

古典的エルゴード定理

エルゴード定理の基本的な考え方は、相空間内での点の運動を考え、時間の経過とともにその平均的な振る舞いを空間的な観点から描写することにあります。以下のような過程で説明されます。

1. 相空間の定義: 力学系の相空間は通常、n次元のユークリッド空間
R^n における有界領域
Ω として設定されます。
2. 無限の時間における平均: 時間が無限に進むにつれて、特定の可測関数に対する点の訪問の頻度がどのように変化するかを考察します。この訪問の平均回数を計算することが、エルゴードの性質を示す助けになります。

この時、代表的な可測関数を用いて、時間平均と空間平均が一致するための条件を探ります。特に、全ての点が相空間において均等に訪問されることが求められます。

個別エルゴード定理

ジョージ・バーコフは1932年に個別エルゴード定理を示しました。この定理は、相空間内のほぼ全ての点に対して、時間平均が存在することを確立しました。具体的には、可積分な関数
ρ(x) ∈ L^1(Ω) に対して、次のように定義されます。

$$
ho^(x) := egin{cases} ext{lim}_{n o ext{∞}}rac{1}{n} ext{∑}_{i=1}^{n}
ho(x_i) ext{が存在する} \\ ext{(ここで)} \\ ext{時間平均が空間平均と一致する} \\ ext{∫}_Ω
ho^(x)dx = ext{∫}_Ω
ho(x)dx ext{が成り立つ。} \\ ext{また、} \
ho^(x)は初期値に対して不変です。 ext{min(A)} ext{(ここでAは任意の可測集合)} \\ ext{(初期値に対して変わらない)} \\ ext{∫}_Ω
ho^(x_k)dx = ext{∫}_Ω
ho(x)dx ext{が成り立つ。}(k=0, ext{±}1, ext{±}2,…) ext{(kは任意の整数)} $$(注：数式は省略し、要旨をまとめました。)

平均エルゴード定理

続いて、フォン・ノイマンが証明した平均エルゴード定理は、
L^2(Ω) 内の2乗可積分な関数について成り立ちます。この定理によると、二乗平均での収束が確認され、時間平均と空間平均が一致することが示されています。具体的には、次のように示されます。

$$ ext{lim}_{n o ext{∞}} ext{∫}_Ω | rac{1}{n} ext{∑}_{i=1}^{n}
ho(x_i) -
ho^*(x)|^2 dx = 0$$

この式は、時間平均の結果が空間平均に近づく様子を示しており、エルゴード定理の強力な特性を裏付けています。

歴史的背景

このエルゴード定理の起源は19世紀末に遡ります。ボルツマンとギブズは、物理量の長時間平均を計算する困難性から、空間平均に置き換えようと試みました。しかしこの仮説は多くの反論に直面しました。特に、ポアンカレが証明した回帰定理は、力学系の軌道が全ての点を通過することの限界を明らかにしました。さらに、その後の研究によって個別エルゴード定理が強化され、最終的に数学理論としてのエルゴード理論が確立されました。

参考文献

• - 吉田耕作, 河田敬義, 岩村聯著『位相解析の基礎』岩波書店(1960年)
• - 青木統夫著『力学系の実解析入門』共立出版 (2004年)

このように、エルゴード定理は力学系の時間的および空間的な特性に関する洞察を提供し、数学や物理学の多くのひとつの基礎となっています。

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