相空間

相空間：力学系の状態を記述する抽象空間

力学系理論において、相空間 (phase space) とは、対象となるシステムが取りうる全ての状態を表現する抽象的な空間です。状態空間 (state space) とも呼ばれます。この空間を使うことで、システムの状態を空間上の点として捉え、その時間変化を空間上の軌跡として視覚的に理解することができます。

力学系と相空間

力学系とは、システムの未来の状態が現在の状態から一意的に決定される決定論的な過程を数学的に記述したものです。相空間は、力学系を構成する重要な要素の一つで、システムの状態を表現する変数の集合です。例えば、単振り子の運動を考えると、その状態は振れ角と角速度によって一意的に決まります。この振れ角と角速度を座標軸とする平面が、この単振り子の相空間となります。

相空間上の各点は、システムのある状態を表し、相点、状態などとも呼ばれます。時間経過とともに、相点は相空間上を動き、その軌跡は軌道と呼ばれます。時間の流れが連続的な力学系では軌道は連続曲線となり、離散的な力学系では点列となります。決定論的な力学系では、異なる軌道の交差は起こりません。

相空間上の全ての軌道の概略図を相図 (phase portrait) と呼びます。相図はシステムの挙動を理解する上で非常に役立ちます。相空間を構成する状態変数の数は、相空間の次元を表します。次元が低い場合は比較的解析が容易ですが、高次元かつ非線形な系では解析が非常に困難になります。偏微分方程式で記述される力学系では、相空間の次元は無限大になります。

相空間の種類

相空間は、力学系の種類や解析の目的に応じて、様々な数学的構造を持つことができます。

位相空間: 位相力学系では、相空間は位相空間として定義されます。位相空間は、点の近傍関係を定義した空間で、距離の概念は必ずしも必要ありません。多くの場合、付加的な構造（例えば距離空間であること）を仮定して議論が進められます。特に、相空間がコンパクトであると仮定すると、多くの有用な結果が得られます。
ユークリッド空間とその部分集合: 多くの場合、システムの状態が実数の組で表現できる場合は、相空間はユークリッド空間Rnまたはその部分集合として考えられます。
多様体: システムの状態が特定の多様体上に制限されている場合、相空間は多様体として表現できます。多様体のトポロジカルな性質を利用することで、系の性質を深く理解することができます。例えば、単振り子の相空間は円筒面となります。
微分構造を持つ相空間: 可微分力学系では相空間は微分構造を持ちます。この場合、相空間上の各点にはベクトル場が対応し、それが解曲線の接ベクトルを与えます。
可測構造を持つ相空間: 測度論的力学系では、相空間は可測構造を持ち、確率測度が定義されます。この場合、保測写像という概念が重要になります。
記号空間: 記号力学系では、相空間は記号列の集合となります。例えば、記号が2種類の場合、相空間は全ての両側無限記号列の集合となります。

拡大相空間

時間tを陽に含む非自律系では、相空間上の軌道が交差することがあります。この問題を回避するために、元の状態変数に時間tを加えた空間を拡大相空間 (extended phase space) と呼びます。拡大相空間は元の相空間よりも1次元高く、非自律系でも軌道の交差がなくなります。時間に関して周期的な非自律系では、拡大相空間はトーラスとして表現できます。

解析力学における相空間

解析力学、特にハミルトン力学では、相空間は物体の位置qと運動量pを座標とする空間として定義されます。この場合、位置qだけの空間は配位空間と呼ばれます。自由度nの系では、相空間は2n次元となります。数学における相空間と力学における相空間は、どちらもphase spaceからの訳語です。数学分野では位相空間と区別するために「相空間」と呼ぶことが一般的です。

まとめ

相空間は、力学系の状態を包括的に表現し、解析するための強力なツールです。その数学的構造は力学系の種類によって異なり、位相空間、ユークリッド空間、多様体など様々な表現が可能です。拡大相空間は非自律系の解析に有効な手法です。解析力学における相空間は、位置と運動量を座標とする空間として定義され、数学における相空間と密接に関連しています。

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