オイラー予想

オイラー予想

オイラー予想（Euler's sum of powers conjecture）は、18世紀のスイスの偉大な数学者レオンハルト・オイラーによって提唱された、数論における重要な予想の一つです。この予想は、有名な「フェルマーの最終定理」から着想を得て、その主張をより一般的な形に拡張しようとした試みでした。しかし、長年の研究の末、この予想は実際には成り立たないことが、具体的な反例の発見によって証明されています。

予想の内容

オイラーがこの予想に至る背景には、ピエール・ド・フェルマーが提示した最終定理があります。フェルマーの最終定理は、3以上の自然数 n について、xⁿ + yⁿ = zⁿ という方程式を満たすゼロでない自然数 x, y, z の組み合わせは存在しない、という主張です。オイラー自身は、この定理の n = 3 の場合、すなわち x³ + y³ = z³ を満たす自然数解がないことを証明しました。

オイラーはさらにこの考えを進め、より多くの数の n 乗の和についても同様のことが言えるのではないかと考えました。具体的には、n が3より大きい自然数であるとき、n-1 個の n 乗数の和が1個の n 乗数に等しくなる方程式は、自然数解を持たないのではないかと予想したのです。

例えば、n = 4 の場合、


x⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴


という方程式を満たすゼロでない自然数 x, y, z, w は存在しないだろうと予想しました。同様に、n = 5 の場合では、


x⁵ + y⁵ + z⁵ + w⁵ = v⁵


を満たす自然数解は存在しない、といったように、これを任意の n > 3 について一般化したものがオイラー予想です。つまり、n-1 個の n 乗数の和を、ちょうど1個の n 乗数で表すことは不可能であると示唆したのです。

歴史と反例の発見

オイラーがこの予想を発表して以来、長い間多くの数学者たちがこの問題に取り組みましたが、比較的小さな自然数での探索では反例を見つけることができませんでした。そのため、この予想は長い間正しいものと信じられてきました。

しかし、20世紀後半に入り、計算機の進歩が状況を変えます。1966年、アメリカの数学者レオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンは、当時の世界最高速クラスのスーパーコンピュータであったCDC 6600を用いて探索を行い、n = 5 の場合の反例を発見しました。彼らが見つけた解は、次の式で表されます。


27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵


この等式が成り立つことが確認されたことで、オイラー予想は n = 5 の場合に偽であることが証明されました。この発見は数学界に大きな驚きをもって迎えられました。

n = 5 の反例が見つかったことから、次に注目が集まったのは n = 4 の場合です。n = 4 は n = 5 よりも単純なケースであるにも関わらず、反例の発見はより困難でした。研究が進められた結果、1986年にハーバード大学の数学者ノーム・エルキーズが、画期的な方法で n = 4 の反例を発見しました。エルキーズは、楕円曲線論という高度な数学理論とコンピュータ探索を組み合わせることで、次の非常に大きな数の組み合わせを見つけ出しました。


2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴


エルキーズの発見は、単に一つの反例を見つけただけでなく、n = 4 の場合にはこのような自然数解が無数に存在することも同時に証明したという点で、数学的に非常に重要な意味を持ちました。この発見により、約200年間未解決であったオイラー予想は、完全に否定される形で解決を見ました。

その後も反例の探索は続けられており、例えば2004年にはジム・フライによって n = 5 の別の反例である `85282⁵ + 28969⁵ + 31835⁵ + 55⁵ = 85359⁵` が発見されています。

具体的な反例の例

オイラー予想が偽であることを示すいくつかの具体的な反例を以下に示します。これらは n > 3 かつ n-1 個の n 乗数の和が1個の n 乗数に等しくなる例です。

n = 4

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴

（ノーム・エルキーズ, 1986年）

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴

（ロジャー・フライ, 1988年）
n = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵

（ランダー & パーキン, 1966年）

19⁵ + 43⁵ + 46⁵ + 47⁵ + 67⁵ = 72⁵

（ランダー, パーキン, セルフリッジ, 1967年, 既知の最小解）

また、オイラー予想の条件（n-1個の和）からは外れますが、参考として n 個の n 乗数の和が1個の n 乗数に等しくなる例（これはオイラー予想とは矛盾しないタイプの解）も存在します。

n = 4

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴

（R. Norrie, 1911年, n=4* における既知の最小解）

オイラー予想は成り立たないことが証明されましたが、この予想とそれに対する反例の探索は、数論や計算数学の発展に大きく貢献しました。

関連項目として、関連する予想に「ランダー・パーキン・セルフリッジ予想」があります。

もう一度検索