フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理は、3以上の自然数 n に対して、方程式 xⁿ + yⁿ = zⁿ の自然数解 (x, y, z) が存在しないことを主張する定理です。この理論はピエール・ド・フェルマーによって提唱され、彼は証明を発見したと記していますが、実際には彼の証明は残されていませんでした。フェルマーが亡くなった330年後の1995年、アンドリュー・ワイルズがこの理論に対する完全な証明を発表しました。

歴史的背景

17世紀にフランスの数学者であるフェルマーは、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、そこから発想を得て自身のアイディアを余白に記しました。その中には、様々な数学的テーマが含まれており、彼の記述は特に興味深いものでした。特に、第2巻第8問の欄外に書かれた「大定理」は、後にフェルマーの最終定理と呼ばれるようになりました。

この定理は、証明もされなければ反証もされず、数世代の数学者たちが挑戦してきました。また、この定理の証明に成功した数学者には賞金が出るという噂も広まりました。したがって、フェルマーの最終定理は一般に知られるようになり、多くの科学者がその難解な証明に挑戦することになったのです。

初期の探求

フェルマーの最終定理についてはさまざまな部分的な結果が得られました。たとえば、n = 4 の場合、フェルマー自身が証明を残しています。この証明では、ピタゴラス数の特性を利用し、偶数と奇数の性質を考慮した方法が用いられています。

さらに、n = 3 の時の証明ではレオンハルト・オイラーが考察し、1753年に一つの説明を行いました。次に、σその他の数学者たちが有名な事例ごとに理由付けを行いましたが、完全な解決には達しませんでした。名のある数学者たちがこの問題に取り組むも、発見の途上での厳しい課題が立ちはだかっていたのです。

個別の研究からの進展

1823年、ソフィ・ジェルマンがnが奇素数である場合のさまざまなケースに対して証明を行いました。この個別研究の傾向は続き、各種の場合に対して研究が進められました。1832年までには、ディリクレがn=14を証明し、1839年にはラメとルベーグがn=7を証明しました。

しかし、これらはあくまで例外に過ぎず、全体の不確実性を覆い隠すものではありませんでした。その後、エルンスト・クンマーが自身の理論を用いて多くの非正則素数へのアプローチを行い、重要な結果を得ました。

現代的アプローチとワイルズの証明

1980年代、モジュラー形式に関する研究が進められ、谷山・志村予想の登場とともにフェルマーの最終定理に新たな展望が芽生えました。1984年、ゲルハルト・フライが新たなアプローチを提示し、次第にこの問題が注目を集めるようになりました。

そして1990年代、アンドリュー・ワイルズはこの問題に本格的に取り組むことを決意しました。彼は数年間、他の研究を止めてこの問題に専念し、そして1994年に新しい証明を発表しました。ワイルズの証明は秘かに進められ、1995年に発表され、3世代にわたる数学者たちの努力が結集した瞬間となりました。

まとめ

フェルマーの最終定理の証明は、数世代の数学者による過去の試行錯誤や研究の積み重ねによって成し遂げられました。この歴史は、数学の発展における重要な証明の一つとして位置付けられ、人々に数論の魅力を与え続けています。

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