オノの不等式

幾何学において、オノの不等式は、三角形の辺の長さと面積の関係を示す興味深いい不等式の一つです。この不等式は、特に鋭角三角形に対して成立する性質を持っています。

歴史的背景

オノの不等式は、1914年に日本の数学者T.オノによって提唱されました。彼は当初、この不等式が任意の種類の三角形で成り立つと予想しましたが、その後の研究によって、彼の予想が全面的には正しくないことが判明します。1916年、フランスの数学者F. Balitrandは、オノの予想には誤りがあることを明確に示しつつ、同時に、この不等式が鋭角三角形の場合に限り成立することを証明しました。このように、オノの不等式はその成立条件が厳密に特定された経緯を持っています。

不等式の形

オノの不等式は、鋭角三角形に限定して次のように記述されます。三角形の3辺の長さをそれぞれ $a, b, c$ とし、その面積を $S$ とするとき、以下の関係が成り立ちます。

$$27(b^2+c^2-a^2)^2(c^2+a^2-b^2)^2(a^2+b^2-c^2)^2 \\leq (4S)^6$$

この不等式は、三角形の辺の長さの組み合わせと面積の間に成り立つ特定の代数的な関係を示しています。式中の $(b^2+c^2-a^2)$ といった項は、余弦定理を用いると三角形の内角と関連づけられるため、この不等式は辺だけでなく角の性質とも結びついています。

重要な注意点として、この不等式は鋭角三角形以外では必ずしも成立しません。例えば、辺の長さが $a=3, b=2, c=4$ であるような鈍角三角形（最も長い辺の対角が鈍角となる）では、この不等式は成り立たないことが知られています。このような反例の存在が、オノの不等式の適用範囲が鋭角三角形に限定される理由を明確にしています。

証明の概要

オノの不等式の証明は、主に三角法を利用して行われます。まず、元の辺と面積に関する不等式の両辺を、$64(abc)^4$ のような適切な項で割ることから始めます。

この初期的な変形の後、三角形の辺と内角の関係を示す余弦定理や、辺と内角を用いた面積公式（例えば、面積 $S = \\frac{1}{2}bc \\sin A$）を適用します。これらの公式を駆使することで、辺と面積で表されていた不等式は、三角形の内角 $A, B, C$ に関する三角関数（余弦 $\\cos$ および正弦 $\\sin$）を用いた形へと変換されます。

具体的には、不等式は次のような三角関数の関係式に帰着されます。

$$27(\\cos A \\cos B \\cos C)^2 \\leq (\\sin A \\sin B \\sin C)^2$$

さらに、三角形の3つの内角 $A, B, C$ について常に成り立つ有名な恒等式 $\\tan A + \\tan B + \\tan C = \\tan A \\tan B \\tan C$ を利用して式を変形します。これにより、不等式は最終的に内角のタンジェント（正接）に関する次の形に書き換えられます。

$$27 \\tan A \\tan B \\tan C \\leq (\\tan A + \\tan B + \\tan C)^3$$

ここで、この不等式が鋭角三角形でのみ成立する理由が証明の中で明らかになります。鋭角三角形では、全ての内角 $A, B, C$ が90度未満であるため、それぞれのタンジェントの値 $\\tan A, \\tan B, \\tan C$ は全て正の実数となります。正の数に対して適用できる相加相乗平均の関係を利用すると、$\\frac{\\tan A + \\tan B + \\tan C}{3} \\geq \\sqrt[3]{\\tan A \\tan B \\tan C}$ という関係が得られます。この関係を3乗することで、上記のタンジェントに関する不等式が成立することが示されます。

もし三角形が鈍角を含む場合、その鈍角のタンジェントは負の値となり、相加相乗平均の関係をそのまま適用することができません。このため、証明は鋭角三角形に限定されることになります。

オノの不等式