不等式

不等式とは

不等式とは、不等号（\>、\<、\$\geq$、$\leq$ など）を用いて、二つの数や式が等しくない、あるいは一方が他方より大きいまたは小さいといった大小関係を表した数式の総称です。

数学においては、値や量を評価するという観点から、等式（\=で結ばれた式）も不等式の一種とみなされることがあります。

概要

未知数（あるいは変数）を含む不等式は、方程式と類似した考え方をもたらします。変数に特定の値を代入したときに、その不等式が成り立つ場合、その値を不等式の解と呼びます。すべての解を見つけ出すプロセスを不等式を解くといいます。一般的に「不等式」という言葉は、このように未知数を含むものを指す場合が多いです。

未知数を含む不等式が与えられた際、通常は任意の値が解となるわけではありません。したがって、不等式は未知数に対して条件を定める式と理解されます。特定の値でしか成り立たないことを強調する場合は「条件不等式」と呼ばれます。これに対し、方程式における恒等式のように、変数がどのような値であっても常に成り立つ不等式は「絶対不等式」と呼ばれます。

例: $x + 1 > 1$ は条件不等式です。この式は $x > 0$ であるときに成り立ちます。
絶対不等式の例: 実数 $x$ について、$x^2 + 1 > 0$ は絶対不等式です。$x$がどんな実数であっても常に成り立ちます。

複数の未知数を含む多変数不等式や、複数の不等式が同時に成り立つべき条件を表す連立不等式（不等式系）も考えられます。これらの不等式系を、同値性を保ったままより簡単な形に変形して解を求める過程は、方程式系を解く場合と同様です。

方程式がしばしば離散的な解を与えるのに対し、不等式は通常、解となる値の範囲を示す条件式として機能します。この違いは、例えば解析学における素数分布の評価など、さまざまな場面で効果的に利用されます。解析学はしばしば「不等式の学問」と称されるほど、不等式を巧妙に用いた論証が中心となります。

不等号の種類と意味

教育数学で主に扱う不等式は、実数の大小関係に関するものです。用いられる主な不等号とその意味は以下の通りです。

\>（大なり、より大、超過）：左辺が右辺より大きいことを示す。
$\geq$（大なりイコール、以上）：左辺が右辺より大きいか等しいことを示す。（※日本以外では$\ge$が一般的）
\<（小なり、より小、未満）：左辺が右辺より小さいことを示す。
$\leq$（小なりイコール、以下）：左辺が右辺より小さいか等しいことを示す。（※日本以外では$\le$が一般的）

これらの不等号を組み合わせることで、特定の範囲を表現できます。例えば、「$x$が100以上かつ1000未満」は $100 \leq x < 1000$ と表されます。また、$a \leq b$ かつ $a \geq b$ が同時に成り立つならば、$a = b$ であると結論づけられます。

ある数 $a$ に対して $a \leq b$ となる数 $b$ を見つけることを、$a$を$b$で上から評価する、あるいは上から押さえるといいます。逆に、$a \geq b$ となる数 $b$ を見つけることを、$a$を$b$で下から評価する、あるいは下から押さえるといいます。関数の場合も同様に用いられます。このような評価は、目的に応じて最も適した、可能な限り簡単な形で行うことが望ましいですが、これには経験と技術が求められます。

性質

不等式は、その操作によって不等号の向きが変わる可能性がある点が、等式と異なります。

1. 不等式の両辺に同じ数を加えたり減じたりしても、不等号の向きは変わりません。これは、方程式と同様に移項が可能であることを意味します。
2. 不等式の両辺に正の数を掛けたり割ったりしても、不等号の向きは変わりません。
3. 不等式の両辺に負の数を掛けたり割ったりすると、不等号の向きは反転します。

乗じたり割ったりする数が変数や文字式で、その正負が不明な場合は、正の場合と負の場合に分けて考える必要があります。

実数の大小に関する不等式には、以下の基本的な性質があります。

$a \leq b$ と $b \geq a$ は同値である。
$a < b$ と $b > a$ は同値である。
$a \leq b$ は $a = b$ または $a < b$ と同値である。
$a \geq b$ は $a = b$ または $a > b$ と同値である。
すべての数 $a$ について、$a \leq a$ かつ $a \geq a$ が成り立つ（反射律）。
$a \leq b$ かつ $b \leq a$ ならば $a = b$ である（反対称律）。
$a \leq b$ かつ $b \leq c$ ならば $a \leq c$ である（推移律）。
$a \leq b$ かつ $c \leq d$ ならば $a + c \leq b + d$ である。
$a \leq b$ ならば $-b \leq -a$ である。
$0 < a$ かつ $0 < b$ ならば $0 \leq ab$ である。

これらの性質のうち、反射律、反対称律、推移律は順序関係の公理として抽象化されるものです。また、加法や乗法に関する性質（最後の3つなど）は、実数の集合が順序体をなすための要件の一部を示しています。

主な不等式

数学の様々な分野で、多くの重要な不等式が知られています。代表的なものをいくつか挙げます。

相加相乗平均の不等式
コーシー＝シュワルツの不等式
三角不等式
イェンセンの不等式
ヘルダーの不等式
ミンコフスキーの不等式
チェビシェフの不等式
ベッセルの不等式

これらは特定の条件下で成り立つ関係を示し、様々な証明や評価に不可欠な道具となります。解析学をはじめとする多くの数学分野で広く利用されています。

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