カオス (力学系)

力学系においてカオス（chaos）とは、あたかも無作為に、あるいは不規則に振る舞っているかのように見える現象でありながら、実は厳密な決定論的な法則に従って生成されている軌道を指します。このため、特に決定論的カオスとも呼ばれます。

カオスの最も特徴的な性質は、初期値鋭敏性と呼ばれるものです。これは、系のごくわずかな初期状態の差異が、時間の経過とともに指数関数的に増幅され、将来の状態に予測不能なほどの大きな違いをもたらす性質です。この性質は、気象予測の難しさなどを説明する際に引き合いに出されることが多く、俗に「バタフライ効果」という言葉で広く知られています。

カオスは、線形な力学系では発生しません。カオス的な振る舞いが生じるためには、その系が何らかの非線形性を持っていることが不可欠です。これは、系の入力と出力の関係が直線的ではないことを意味します。

カオスの概念は、古くから数学者たちの研究の中に現れていました。最初期にこの複雑な振る舞いに気づいた一人として、19世紀末にフランスの数学者アンリ・ポアンカレが挙げられます。彼は、有名な「三体問題」の研究において、決定論的な方程式に従う天体の運動が、予測困難な複雑な軌道を描く場合があることを発見しました。

また、エネルギーが散逸していくような系（散逸系）においてカオスが発生する場合、その軌道は相空間内に特定のフラクタル構造を持つ図形として引き込まれていきます。これをストレンジアトラクターと呼びます。最も有名なストレンジアトラクターの一つに、気象学者エドワード・ローレンツが単純な大気循環モデルから見出した、蝶の羽のような形をしたローレンツアトラクターがあります。

カオス的な力学系は、以下のような主要な性質を持つことが知られています。

非線形性: カオス発生の根本的な原因であり、系が直線的な応答を示さない性質です。
非周期性: 軌道が時間とともに特定の固定点や周期的なパターン、あるいは準周期的なパターンに収束せず、永久に新しい領域を探索し続ける性質です。
初期値鋭敏性: 前述の通り、わずかな初期状態の差が将来の状態に大きな差を生む性質です。
拡大性: 初期値鋭敏性よりも強い性質で、相異なる二つの点が時間の経過とともに必ずある程度以上の距離に引き離される性質を指します。
位相推移性: 系全体のダイナミクスが混合される性質です。これは、系の任意の小さな領域から出発した軌道が、最終的に系のほぼ全ての領域を覆い尽くす（稠密になる）可能性があることを意味します。
位相混合性: 位相推移性よりもさらに強い混合性を示す性質です。これは、十分な時間が経過すれば、系の任意の二つの領域が互いに混ざり合い、どの領域から出発した軌道も系の他の領域に到達する可能性が高くなることを意味します。
* 有界性・コンパクト性: カオスの定義に含めることで、軌道が単純に無限遠方へ発散するような、カオスと呼ぶには不適当な例を除外するために考慮される性質です。系が定義される空間や、軌道が留まる範囲が有限であることが望ましいとされます。

カオス理論は、物理学、気象学、生態学、経済学など、様々な分野で複雑な現象を理解するための重要なツールとなっています。

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