有界

集合の有界性：順序集合と距離空間

数学において、集合の有界性は重要な概念です。集合の大きさを測る尺度として、様々な数学的構造の中で定義され、活用されています。本稿では、順序集合と距離空間における集合の有界性について解説します。

順序集合における有界性

順序集合 (X, ≤) とその空でない部分[[集合]] A を考えます。A の上界とは、A の任意の元 a に対して a ≤ L を満たす X の元 L のことです。上界を持つ集合 A は上に有界であるといいます。同様に、A の下界とは、A の任意の元 a に対して l ≤ a を満たす X の元 l のことであり、下界を持つ集合 A は下に有界であるといいます。上に有界かつ下に有界な集合は、単に有界であるといいます。

順序集合 (X, ≤) が最大元と最小元を持つ場合、その順序は有界順序と呼ばれます。しかし、有界順序を持つ順序集合の部分[[集合]]が必ずしも有界順序を持つとは限りません。このことは、有界性が集合の包含関係に対して保存されないことを示しています。

距離空間における有界性

距離空間 (M, d) の部分[[集合]] S が有界であるとは、S が有限な半径を持つ球で覆えることを意味します。言い換えると、M の元 x と正数 r > 0 が存在し、S の任意の元 s に対して d(x, s) < r が成り立つ場合、S は有界です。このとき、x は球の中心、r は半径となります。

S が空[[集合]]でない場合、中心 x を S の元として選ぶこともできます。また、S の直径 diam S := sup{d(x, y) | x, y ∈ S} が有限であることも、S が有界であるための同値な条件となります。ここで、sup は上限を表します。距離空間全体 M が有界である場合、その距離函数 d を有界距離函数、M を有界距離空間と呼びます。

例と性質

実数からなる開区間 (a, b) や閉区間 [a, b] は、順序集合としても距離空間としても有界です。これは、これらの区間がそれぞれ上界と下界を持つためです。一方、実数全体の集合 R は有界ではありません。これは、R には上界も下界も存在しないためです。

R の空でない有界集合は、必ず上限（最小上界）と下限（最大下界）を持ちます。これは、実数の連続性から導かれる重要な性質です。ユークリッド空間 Rⁿ の有界集合は全有界であり、特に閉集合である場合はコンパクトになります。一般に、完備距離空間の全有界部分[[集合]]はコンパクトです。

まとめ

集合の有界性は、順序集合と距離空間の両方で定義され、それぞれ異なる意味を持ちます。順序集合では、上界と下界の存在によって定義され、距離空間では、有限な半径の球で覆えることで定義されます。しかし、両者の概念は密接に関連しており、特にユークリッド空間においては、順序による有界性と距離による有界性は等価になります。集合の有界性は、数学における様々な分野で重要な役割を果たしており、特に解析学においては、収束性やコンパクト性の議論において不可欠な概念です。

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