カー・ニューマン解

概要

カー・ニューマン解（Kerr-Newman solution）は、一般相対性理論の根幹をなすアインシュタイン方程式が持つ厳密解の一つです。この解は、物理学において極めて重要な存在であるブラックホールの、特に「回転」と「電荷」という二つの性質を併せ持つ場合を記述するために用いられます。そのため、「カー・ニューマン計量」とも呼ばれます。

この解が初めて提示されたのは1965年、アメリカの物理学者エズラ・T・ニューマン（Ezra T. Newman）らによる研究チームによってです。彼らの発見は、ニュージーランドの数学者ロイ・カー（Roy Kerr）が1963年に発表した、回転する電荷を持たないブラックホールを記述する「カー解」の登場からわずか2年後のことでした。カー・ニューマン解は、質量（M）、角運動量（J）、電荷（Q）という三つの基本的な物理量のみによって特徴づけられるブラックホールの時空構造を示しており、一般相対性理論が描く宇宙の姿、特に強重力場における現象を理解する上で広く活用されています。

計量の形式

カー・ニューマン解によって示される時空の計量、すなわち時空上の二点間の距離や時間の隔たりを測るための数学的な尺度は、以下の形式で表現されます。

ds^2 = - (Δ/ρ²) (dt - a sin²θ dφ)² + (sin²θ/ρ²) [(r² + a²) dφ - a dt]² + (ρ²/Δ) dr² + ρ² dθ²

ここで用いられている記号は、それぞれ以下のように定義されます。

`Δ ≡ r² - 2Mr + a² + Q²`
`ρ² ≡ r² + a² cos²θ`
`a ≡ J/M`

これらの定義式における `M` はブラックホールの質量、`J` は角運動量、`Q` は電荷を表しています。また、この計量表現では、光速と万有引力定数を1とする幾何学単位系（c=G=1）が採用されています。

特殊な場合との関係

カー・ニューマン解は、そのパラメータの値を特定の場合に設定することで、他の重要なブラックホール解を再現することができます。

電荷がゼロ (Q=0) の場合: カー・ニューマン解は、回転するが電荷を持たないブラックホールを記述する「カー解」と一致します。
角運動量がゼロ (J=0) の場合: この場合、`a = 0` となり、解は電荷を持つが回転しないブラックホールを表す「ライスナー・ノルドシュトロム解（Reissner-Nordström solution）」になります。
電荷も角運動量もゼロ (Q=0, J=0) の場合: 最も単純な、回転も電荷も持たない静止したブラックホールを記述する「シュヴァルツシルト解（Schwarzschild solution）」が得られます。

これらの関係から、カー・ニューマン解は、シュヴァルツシルト解、ライスナー・ノルドシュトロム解、カー解を包括する、より一般的な解であることがわかります。

ブラックホールとしての条件と理論的な重要性

この計量が物理的にブラックホールとして解釈されるためには、そのパラメータが特定の条件を満たす必要があります。具体的には、`a² + Q² ≤ M²` という不等式が成り立たなければなりません。この条件が満たされない場合、中心に特異点は存在するものの、事象の地平面が存在しない「裸の特異点」が出現する可能性が指摘されており、これは「宇宙検閲官仮説」など、理論物理学の重要な未解決問題にも関連しています。

カー・ニューマン解は、現代のブラックホール研究において極めて中心的な役割を果たしています。特に、ブラックホールは最終的には質量、角運動量、電荷というわずか三つの物理量のみによって完全に規定されるという「ブラックホール脱毛定理（no-hair theorem）」や、アインシュタイン・マクスウェル方程式の軸対称で定常なブラックホール解はカー・ニューマン解に限られるとする「ブラックホール唯一性定理（uniqueness theorem）」といった重要な理論の根拠となっています。これらの定理は、ブラックホールがその形成過程の詳細に関わらず、非常に単純な最終状態へと落ち着くことを示唆しており、ブラックホールの物理学の理解を深める上で欠かせない概念です。

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