角運動量

角運動量とは

角運動量（かくうんどうりょう、英: angular momentum）は、運動量のモーメントを示す力学の重要な概念です。この物理量は、質点や物体が回転している際の運動状態を表します。

定義

角運動量 L は、位置ベクトル r における運動量 p を元に定義されます。具体的には、以下のように外積を用いて表現されます。

$$ L = r imes p $$

ここで、角運動量の大きさは、次の式で表されることもあります。

$$ L = r p imes ext{sin}( heta) $$

ここで、θ は位置ベクトル r と運動量 p および、それぞれの大きさを示します。また、質点の質量を m、速度を v とした場合、運動量 p は次の式に基づいています。

$$ p = mv $$

したがって、角運動量は以下のように表されます。

$$ L = mvr $$

さらに、角速度が ω の場合、角運動量 L は次のようにも表記できます。

$$ L = I imes ext{ω} $$

ここで、I は慣性モーメントを指します。

座標原点の移動

角運動量は、原点の設定によって異なる値を取るため、別の位置へ移動させた場合の新しい座標系を考える必要があります。新しい座標における角運動量は、原点の移動によって調整されますが、運動方程式はその影響を受けません。このため、角運動量の変化は、新しい原点における力のモーメントが影響するものとして扱われます。

運動方程式

角運動量の時間変化は、質点に作用する力によって決まります。これはニュートンの運動方程式に関連し、力のモーメントの定義に基づいています。ニュートンの法則によれば、力 F によって生じるモーメントは、次のように表せます。

$$ N = r imes F $$

この関係性を用いて、運動方程式を考えると、角運動量が保存される条件が理解できるようになります。

角運動量の保存

力のモーメントが0の場合、角運動量は一定のまま維持され、これが角運動量保存の法則として知られています。この法則は、外力が働いていない状態、または力が位置ベクトルに平行な場合に成立します。例えば、等速円運動では、運動量の大きさは一定ですが、その向きは変化するため、運動量自体は保存されない一方で、角運動量は保存されます。

質点系の角運動量

複数の質点から構成される系の角運動量は、それぞれの質点の角運動量を合計することで得られます。質点 i の角運動量を li とした場合、全角運動量 L は次のように表せます。

$$ L = ext{Σ} l_i = ext{Σ} (r_i imes p_i) $$

質量中心における角運動量は、全質量 M を用いて以下のように表現されます。

$$ L_g = M r_g imes rac{d r_g}{dt} $$

この方法により、全角運動量から質量中心に基づく相対運動による角運動量の差を抽出できます。

回転運動と角運動量

角運動量は回転運動に密接に関連していますが、必ずしも回転を伴わない場合でも定義することが可能です。例えば、惑星の運動などでは、万有引力による中心力が働くことで、角運動量は保存されます。

さらに、角速度 ω や慣性モーメント I との関係によっても、角運動量を表現することができます。

量子力学における角運動量

量子力学においては、角運動量は演算子として定義され、特定の交換関係に従います。これにより、量子物理学の観点からも角運動量の役割が明確にされます。

特殊相対性理論における角運動量

特殊相対性理論では、角運動量は二階テンソルとして扱われ、四元運動量や位置についての新たな視点を提供します。これにより、角運動量はさまざまな物理的現象における対称性と深く関連していることが示されます。

まとめ

角運動量に関する知識は、物理学の中心的なテーマであり、運動量やエネルギーと同様に重要な保存量と位置付けられています。それは、宇宙の法則や物体の運動を理解するための基本的な概念です。

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