ガリレイ変換

ガリレイ変換：慣性系間の座標変換

ガリレイ変換は、互いに一定速度で運動する慣性系同士の座標を関連付ける変換方法です。ある慣性系における物理現象の記述を、別の慣性系で記述し直す際に用いられます。

シンプルな例え

例えば、時速30kmで西向きに進む列車を想像してみましょう。列車内の人Aはピッチングマシーンでボールを時速100kmで西向きに投げます。列車の外にいる人Bから見ると、ボールは時速130kmで西向きに飛んでいるように見えます。この速度の足し算は、ガリレイ変換の直感的な理解に役立ちます。

数学的な表現

慣性系S（x, y, z, t）と、x軸方向に速度Vxで運動する慣性系S'（x', y', z', t'）を考えます。このとき、ガリレイ変換は次の式で表されます。

x' = x - tVx
y' = y
z' = z
t' = t

ここで、x, y, zは空間座標、tは時間を表します。この式は、慣性系S'における座標(x', y', z', t')が、慣性系Sにおける座標(x, y, z, t)と相対速度Vxを用いてどのように表されるかを定義しています。

速度の変換

上記の式を時間微分することで、速度の変換式が得られます。x方向の速度vxとvx'の関係は次のようになります。

vx' = vx - Vx
vx = vx' + Vx

これは、速度の合成則が単純な足し算で表されることを意味しています。

ガリレイ変換の限界

ガリレイ変換は、速度が光速に比べて十分に小さい場合にのみ有効です。光速に近い速度では、相対論的効果が無視できなくなり、ガリレイ変換は現実の物理現象を正確に記述できなくなります。光速に近い速度を扱う際には、ローレンツ変換を用いる必要があります。ローレンツ変換は、ガリレイ変換を光速が一定という条件下で拡張したものです。

ガリレイの相対性原理

ガリレイ変換と密接に関連しているのが、ガリレイの相対性原理です。これは、全ての慣性系で物理法則が同一であるという原理です。ニュートン力学の運動方程式は、ガリレイ変換に対して不変であるため、ガリレイの相対性原理を満たします。

しかし、マクスウェルの方程式は光速を含んでいるため、ガリレイ変換に対して不変ではありません。このことは、長らく物理学者の頭を悩ませ、最終的にアインシュタインの特殊相対性理論へとつながる重要な発見となりました。

マイケルソン・モーレーの実験

マイケルソン・モーレーの実験は、光速の一定性を実験的に証明した有名な実験です。この実験の結果は、ガリレイ変換では説明できず、ローレンツ変換と特殊相対性理論の必要性を示唆しました。

まとめ

ガリレイ変換は、低速における慣性系間の座標変換を記述する有用なツールですが、光速に近い速度では適用できません。その限界は、相対論的効果を考慮する必要性を浮き彫りにし、現代物理学の発展に大きく貢献しました。ガリレイ変換の理解は、ニュートン力学と相対性理論を理解するための基礎となります。

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