ローレンツ変換

ローレンツ変換：相対性理論の礎石

ローレンツ変換は、異なる慣性系間の時間と空間座標を関連付ける線形変換です。19世紀末、電磁気学と古典力学の矛盾を解消するために、ラーモアとローレンツによって提案されました。その後、アインシュタインが特殊相対性理論を構築する際に、その基礎となる変換式として採用されました。特殊相対性理論において、全ての慣性系は等価であり、物理法則はローレンツ変換に対して不変です。この性質をローレンツ不変性、あるいは共変性と呼びます。幾何学的には、ミンコフスキー空間における回転変換と捉えることができます。

ローレンツ変換の背景

ローレンツ変換は、マイケルソン・モーリーの実験結果を説明する試みから生まれました。この実験は、光速度のエーテルに対する依存性を検証するものでしたが、光速度は観測者の運動状態に依存しないという結果が得られました。この結果を説明するために、ローレンツは「動く座標系では物体の長さが縮む」というローレンツ収縮（ローレンツ・フィッツジェラルド収縮）を提案しました。しかし、アインシュタインは光速度不変性と物理法則の相対性を原理として特殊相対性理論を構築し、ローレンツ変換をその帰結として導き出しました。この理論によれば、時間の進み方も観測者によって異なることが示されます。

ローレンツ変換とガリレイ変換

古典力学では、ガリレイ変換が慣性系間の座標変換として用いられます。ガリレイ変換はニュートンの運動方程式を不変に保ちますが、マクスウェル方程式には適用できません。一方、ローレンツ変換はマクスウェル方程式を不変に保ちます。さらに、物体の速度が光速度に比べて十分小さい場合、ローレンツ変換はガリレイ変換に近似されます。これは、非相対論的極限におけるガリレイ不変性をローレンツ変換が包含することを示しています。

ローレンツブースト

ローレンツ変換の中でも、空間と時間が関与する方向への変換をローレンツブーストと呼びます。特殊相対性理論における多くの直感に反する現象（例えば時間の遅れ、長さの収縮）は、このローレンツブーストから導かれます。空間同士の変換は、単なる空間回転です。

ローレンツ変換の数学的表現

ローレンツ変換は、ある慣性系Sにおける時空座標(t, x, y, z)を、x軸方向に速度vで動く別の慣性系S'における座標(t', x', y', z')に変換します。この変換は、以下の式で表されます。


ct' = γ(ct - βx)
x' = γ(x - βct)
y' = y
z' = z


ここで、γはローレンツ因子(γ = 1/√(1 - β^2))、βは速度の比(β = v/c)、cは光速です。これらの式は行列を用いてより簡潔に表現できます。

ミンコフスキー空間におけるローレンツ変換

ミンコフスキー空間では、ローレンツ変換は虚数角の回転として解釈できます。パラメータθを用いて、v/c = tanh θ と置くと、変換式は双曲線関数cosh θとsinh θを用いて表現できます。虚時間w = ictを用いると、ローレンツ変換は通常の回転と同じ形式で表すことができます。この表現は、速度の合成を容易に行う際に便利です。

一般的なローレンツ変換

ローレンツ変換は、世界間隔（時空の計量）を不変に保つ線形変換として一般的に定義されます。この定義では、4元ベクトルx=(ct, x, y, z)に対して、Λ^T g Λ = g を満たす4x4行列Λによって、x → x' = Λx と変換されます。ここでgはミンコフスキー計量テンソルです。このように定義された行列Λの全体は、ローレンツ群SO(3,1)を構成します。

ローレンツ変換の分類

ローレンツ変換は、行列式と00成分の符号によって、4つの連結成分に分類されます。順時間的、反順時間的、固有、非固有といった分類が用いられます。さらに、恒等変換、空間反転、時間反転、空間時間反転といった特別なローレンツ変換も存在します。

ローレンツ収縮

ローレンツ収縮とは、観測者に対して運動する物体の長さが縮んで観測される現象です。これはローレンツ変換の帰結であり、特殊相対性理論における重要な概念です。

まとめ

ローレンツ変換は、特殊相対性理論の基礎を成す重要な概念であり、電磁気学と古典力学の矛盾を解消し、光速度不変性と物理法則の相対性を説明する枠組みを提供しています。ローレンツ収縮や時間の遅れといった相対論的効果は、ローレンツ変換から導かれる重要な帰結です。

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