ギブンス回転

ギブンス回転：行列の回転操作

ギブンス回転は、線形代数において用いられる重要な行列変換の手法です。特定の平面における回転操作を表現する直交行列を用いて、行列の要素を操作します。この回転は、アメリカの数学者ウォレス・ギブンスの名前にちなんで名付けられました。

ギブンス回転は、回転角θと回転を行う2つの行・列インデックス(i, k)によって定義されます。回転行列G(i,k,θ)は、単位行列をベースに、i行i列およびk行k列の要素をcosθ、i行k列の要素をsinθ、k行i列の要素を-sinθに置き換えることで構成されます。それ以外の要素は0です。

この行列の構造により、G(i,k,θ)は行列式が1となる直交行列となり、ベクトルに対して適用することで、(i, k)平面上でθラジアンだけ反時計回りに回転させる効果を持ちます。つまり、ベクトルxに対して、G(i,k,θ)ᵀxという演算を行うことで、ベクトルの回転を実現できます。

数学的定義:

より厳密には、ギブンス回転行列G(i,k,θ)の(j,ℓ)要素は以下のように定義されます。

j=i かつ ℓ=i、または j=k かつ ℓ=k の場合：cosθ
j=i かつ ℓ=k の場合：sinθ
j=k かつ ℓ=i の場合：-sinθ
j=ℓ の場合：1
* その他の場合：0

この定義からわかるように、ギブンス回転は特定の行と列のみに影響を与え、他の要素は変化させません。この性質が、効率的な計算に役立ちます。

数値計算への応用:

ギブンス回転の主な用途は、数値計算における行列の操作です。特に、行列のQR分解において、効率的なアルゴリズムの構築に用いられます。QR分解は、行列を直交行列と上三角行列の積に分解するもので、線形方程式の解法や固有値問題の解法など、幅広い数値計算問題に応用されます。

ギブンス回転を用いることで、行列に系統的に0の要素を増やすことができ、QR分解の計算を効率化できます。ハウスホルダー変換という別の方法もありますが、ギブンス回転は並列化が容易で、疎行列（多くの要素が0である行列）に対する計算コストが比較的少ないという利点があります。

まとめ:

ギブンス回転は、直交行列を用いた行列変換の手法で、特定の平面での回転操作を表現します。数値計算、特にQR分解において、効率的で安定したアルゴリズムを実現するために広く利用されています。その簡潔さと並列化の容易さ、疎行列への適応性などが、ギブンス回転の大きな特徴です。

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