ハウスホルダー変換

ハウスホルダー変換：定義と性質

線形代数学において、ハウスホルダー変換（ハウスホルダー鏡映または基本鏡映子とも呼ばれる）は、原点を通る超平面に関する鏡映を表す線形変換です。この変換は、1958年にAlston Scott Householderによって導入されました。

定義:

ハウスホルダー変換は、単位ベクトルvによって定義される超平面に関する点xの鏡像x′として定義されます。この変換は以下のように表せます。

x′ = x - 2⟨x, v⟩v = x - 2v(vx)

ここで、⟨, ⟩は内積、vはvのエルミート転置です。

行列による表現:

ハウスホルダー変換は、ハウスホルダー行列Pを用いて行列として表現できます。ハウスホルダー行列は以下のように定義されます。

P = I - 2(v⊗v) = I - 2v*v

ここで、Iは単位行列、⊗はテンソル積です。

ハウスホルダー行列の性質:

ハウスホルダー行列Pは以下の重要な性質を満たします。

エルミート行列: P = P
ユニタリ行列: P⁻¹ = P
* 対合的: P² = I

ハウスホルダー行列の固有値は+1と-1のみです。+1の固有値の重複度はn-1（nは行列の次元）、-1の固有値の重複度は1です。ハウスホルダー行列の行列式は-1です。

ハウスホルダー変換の応用

ハウスホルダー変換は、数値線形代数において様々な応用を持ちます。

1. 幾何光学:

幾何光学において、鏡面反射はハウスホルダー変換を用いて表現できます。

2. 数値線形代数:

ハウスホルダー変換はQR分解、対称行列の三重対角化、非対称行列のヘッセンベルク化などに広く用いられます。

QR分解:

QR分解は、行列を直交行列と上三角行列の積に分解する方法です。ハウスホルダー変換を用いることで、数値的に安定したQR分解を効率的に計算できます。アルゴリズムは、行列の各列に対してハウスホルダー変換を適用し、上三角行列にすることで実現します。この処理を再帰的に繰り返すことで、最終的にQR分解が得られます。

三重対角化:

対称行列を三重対角行列に変換する過程で、ハウスホルダー変換は重要な役割を果たします。三重対角行列は、固有値問題を解く際に計算コストを削減できるため、数値計算において非常に重要です。

他のユニタリ変換との関係:

ハウスホルダー変換はユニタリ変換の一種です。ユニタリ変換は、行列の固有値の絶対値が1である変換です。ハウスホルダー変換は、任意の直交行列をギヴンス回転とハウスホルダー変換の積に分解できます。ギヴンス回転は、2×2の回転行列です。ハウスホルダー変換は、一度に一つの列に作用しますが、ギヴンス回転は複数の列に作用できます。そのため、ギヴンス回転は並列計算に適しており、ハウスホルダー変換は逐次計算に適しています。

まとめ

ハウスホルダー変換は、数値線形代数において強力なツールであり、様々な問題を効率的かつ数値的に安定して解くために広く用いられています。そのシンプルさと効率性から、現代の数値計算において不可欠な手法となっています。

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