ギンツブルグ-ランダウ理論

ギンツブルグ-ランダウ理論の概要

ギンツブルグ-ランダウ理論は、1950年にロシアで発表された超伝導に関する重要な現象論です。この理論は、ランダウの相転移の理論と平均場理論を基に構築されており、超伝導の秩序の程度を示すオーダー・パラメータΨを用います。この秩序パラメータは、超伝導状態における電子対の凝縮を記述し、ギンツブルグ-ランダウ方程式によって表現されます。

秩序パラメータと自由エネルギー

ギンツブルグとランダウは、平均場理論の枠組みの中で超伝導を考える際に、秩序パラメータを複素数のマクロ波動関数として定義しました。超伝導体の自由エネルギーは、次のように書かれます：

$$
F = F_n + \
\alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2}|\psi|^4 + \frac{1}{2m}|(-i\hbar
abla - 2e\mathbf{A})\psi|^2 + \frac{|
abla H|^2}{2\mu_0}
$$

ここで、$F_n$は通常の状態での自由エネルギーに相当し、$|\psi(r)|^2$は超伝導電子密度を表します。この式は、超伝導におけるエネルギー状態の変化を示すものです。

ギンツブルグ-ランダウ方程式

自由エネルギーの変分から得られるギンツブルグ-ランダウ方程式は次の通りです：

$$
\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m}(-i\hbar
abla - 2e\mathbf{A})^2\psi = 0
$$

また、量子力学的な超伝導電流は、次のようにも表されます：

$$
\mathbf{J} = \frac{2e}{m}(\psi^*(-i\hbar
abla - 2e\mathbf{A})\psi)
$$

これらの方程式を解くことで、熱力学的な量を計算することが可能になります。

コヒーレンス長と磁場侵入長

多くの重要な物理量が、この理論から得られます。特に、波動関数の変動の特徴的な長さであるコヒーレンス長$
\xi$と、外部磁場の影響を受けた超伝導体の挙動を定義する磁場侵入長$\lambda$は以下のように定義されます：

$$
\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2m|\alpha|}},
$$

$$
\lambda = \sqrt{\frac{m}{4\mu_0 e^2 \psi_0}}.
$$

これら2つの比を計算すると、ギンツブルグ・ランダウパラメータ$\kappa = \frac{\lambda}{\xi}$が得られ、超伝導体のタイプを区別します。$\kappa < \frac{1}{\sqrt{2}}$のときは第一種超伝導体、逆に$\kappa > \frac{1}{\sqrt{2}}$の場合は第二種超伝導体になります。

線形化された方程式とその解法

超伝導体が臨界磁場近くにある場合など、秩序パラメータが小さくなる状況では、$\beta$の項を無視でき、次の線形化されたギンツブルグ-ランダウ方程式が得られます：

$$
\alpha \psi + \frac{1}{2m}(-i\hbar
abla - 2e\mathbf{A})^2\psi = 0
$$

この形はシュレーディンガー方程式に類似しており、既知の解法を利用できるため、非常に便利です。

超伝導の種類とアブリコゾフの発見

1957年にアレクセイ・アブリコゾフは、ギンツブルグ-ランダウ理論を応用し、超伝導合金や薄膜の実験結果を解析しました。特に、強い磁場の中における第二種超伝導体の振る舞いを発見し、磁束が量子化された六角形の格子を形成することを示しました。これがアブリコソフの渦（Abrikosov vortices）として知られています。

まとめ

ギンツブルグ-ランダウ理論は、超伝導現象を理解するための強力なツールを提供し、従来の理論の限界を克服する手助けをしました。その結果、物理学のさらなる発展に寄与し、ノーベル物理学賞を受賞した成果となりました。

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