波動関数

量子力学における波動関数：基礎から解釈問題まで

量子力学において、波動関数は系の状態を記述する中心的な概念です。本稿では、波動関数の定義、様々な表示方法、確率解釈、時間発展、そして未だに議論の余地のある解釈問題について詳しく解説します。

波動関数の定義

波動関数は、一般的に複素数値関数であり、量子系の状態を数学的に表現します。量子状態はヒルベルト空間上のベクトルで表され、波動関数はそのベクトルを特定の基底で展開したときの係数として定義されます。 状態ベクトルと波動関数は等価であり、問題に応じて使い分けられます。

あるオブザーバブル（物理量）に対応するエルミート演算子の固有値と固有ベクトルを用いて波動関数を定義できます。エルミート演算子の固有ベクトルは完全系をなし、任意の状態ベクトルはそれらの線形結合（重ね合わせ）で表せます。この展開係数が、その基底における波動関数となります。

位置表示と運動量表示

波動関数の具体的な表示方法として、位置表示と運動量表示が重要です。

位置表示: 位置演算子の固有ベクトルを基底として、波動関数を位置の関数として表します。この表示での波動関数は、シュレーディンガーの波動関数としてよく知られています。連続的な位置の値に対しては、積分を用いた展開式で表現されます。
運動量表示: 運動量演算子の固有ベクトルを基底として、波動関数を運動量の関数として表します。位置表示とは異なる関数形となります。

確率振幅とボルンの規則

波動関数の絶対値の二乗は、ボルンの規則によって、物理量の測定値の確率分布（離散スペクトルの場合は確率、連続スペクトルの場合は確率密度）を与えます。この絶対値の二乗を確率振幅と呼びます。例えば、位置xにおける粒子の存在確率は|ψ(x)|²で与えられます。 この確率は、全空間で積分すると1（100％）に規格化されます。連続スペクトルでは確率密度となり、単位長さあたりの確率を表します。

波動関数の絶対値の二乗は「存在確率」と呼ばれることがありますが、これは厳密には正しくありません。ボルンの規則は、測定を行った場合の測定結果の確率分布を与えているだけであり、測定を行っていない状態での「存在確率」については何も述べていません。

波動関数の時間変化とシュレーディンガー方程式

波動関数の時間発展は、時間に依存するシュレーディンガー方程式で記述されます。この方程式は、波動関数の時間微分がハミルトニアン（系の全エネルギーを表す演算子）によって決定されることを示しています。この時間発展はユニタリー変換であり、確率は保存されます。

測定に伴う波動関数の変化

量子系の状態に対して測定を行うと、波動関数は変化します。これは「波動関数の収縮」と呼ばれ、測定後、波動関数は測定された物理量の固有状態に対応する状態になります。この変化は、シュレーディンガー方程式による時間発展とは異なる過程です。

波動関数の重ね合わせ

複数の波動関数を線形結合することで、新しい波動関数を構成できます。この重ね合わせは、干渉現象を引き起こします。例えば、二重スリット実験では、それぞれのスリットを通過した波動関数の重ね合わせが、干渉縞パターンを生み出します。

固有状態

物理量を表すエルミート演算子の固有関数は、その物理量の固有状態と呼ばれ、物理量が確定した値を持つ状態です。特に重要なのは、ハミルトニアンの固有関数であるエネルギー固有状態です。時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、エネルギー固有状態を求める方程式です。

波動関数の解釈問題

波動関数の解釈については、未だに多くの議論があります。代表的な解釈として、コペンハーゲン解釈、多世界解釈、ボーム解釈などがあります。これらの解釈は、波動関数の時間発展や測定に伴う変化、そして波動関数の物理的な意味付けについて異なる見解を示しています。
特に、「波動関数の収縮」は、波動関数が物理的実体を持つと仮定した場合、光速を超える情報伝達を暗示するなど、相対性原理との矛盾が指摘され、多くの解釈の論点となっています。シュレーディンガーの猫やウィグナーの友人のような思考実験は、この解釈問題を浮き彫りにするものです。

数学的定式化

波動関数は線形代数の枠組みで記述されますが、その数学的基礎は完全には解明されていません。特に多粒子系や場の量子論においては、より高度な数学的定式化が必要となります。「実数だけの量子力学」といった試みもありますが、通常の複素数を使った量子力学と比べて優位性があるとは必ずしも言えません。量子力学の数学的定式化、特に波動関数の厳密な定義やその公理系の構築は、今後の重要な研究課題です。

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