クラマース・ハイゼンベルグの分散式

クラマース・ハイゼンベルクの分散式：光と物質の相互作用を解き明かす

クラマース・ハイゼンベルクの分散式は、光と電子が相互作用する際に起こる遷移確率を記述する、量子力学における重要な公式です。この式は、光の弾性散乱（レイリー散乱）だけでなく、非弾性散乱を含む原子や分子による光散乱の微分断面積を一般的に表すことができるため、光散乱現象の理解に欠かせない役割を果たしています。

分散式とその意味

光と電子の相互作用において、双極子近似を用いることで、遷移確率は双極子モーメントの行列要素で表現できます。この表現を分極率の観点から量子力学的に記述したものが、クラマース・ハイゼンベルクの分散式です。具体的には、散乱された光の強度や散乱方向といった情報が、原子のエネルギー準位や双極子モーメントといった性質を反映した形で記述されます。

特に、共鳴振動数付近を除けば、この式は原子が光を弾性散乱する振幅とほぼ一致するため、原子による光散乱の微分断面積を表す一般式として広く用いられています。

数学的表現

分散式は、以下の式で表されます。

\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\omega_i \omega_f^4}{c^4} \left| \sum_s \left\{ \frac{\langle f|\boldsymbol{\varepsilon}_f \mathbf{Q} |s\rangle \langle s|\boldsymbol{\varepsilon}_i \mathbf{Q} |i\rangle}{E_i - E_s + \hbar \omega_i} + \frac{\langle f|\boldsymbol{\varepsilon}_i \mathbf{Q} |s\rangle \langle s|\boldsymbol{\varepsilon}_f \mathbf{Q} |i\rangle}{E_i - E_s + \hbar \omega_f} \right\} \right|^2
\end{equation}

ここで、

i：始状態
s：中間状態
f：終状態
\(\mathbf{Q}\)：原子の双極子モーメント
\(\omega_i, \omega_f\)：入射光と散乱光の角周波数
\(\boldsymbol{\varepsilon}_i, \boldsymbol{\varepsilon}_f\)：入射光と散乱光の偏光ベクトル
* \(E_i, E_s, E_f\)：始状態、中間状態、終状態のエネルギー

を表します。この式は、光と原子がどのように相互作用し、光が散乱されるかを詳細に記述しています。

応用：レイリー散乱と非弾性散乱

上記の式において、始状態と終状態が等しい（i = f）場合、光の弾性散乱であるレイリー散乱が記述されます。一方、始状態と終状態が異なる場合は、非弾性散乱を表します。この非弾性散乱には、ラマン散乱などが含まれます。クラマース・ハイゼンベルクの分散式は、これらの様々な光散乱現象を統一的に記述できる強力なツールです。

導出：時間依存摂動論

この分散式の導出は、時間依存摂動論に基づいています。具体的には、電磁場を摂動項として扱い、二次の摂動まで考慮することで、遷移確率を計算します。この計算過程において、光と電子の相互作用ハミルトニアンを、一光子過程と二光子過程に分け、電気双極子近似を適用することで、最終的にクラマース・ハイゼンベルクの分散式が得られます。導出過程は複雑ですが、摂動論の基礎的な理解があれば、その本質を捉えることができます。

歴史的背景：古典理論からの発展

光に対する原子の応答は、光の周波数に依存して変化します。この現象を分散といいます。19世紀末には、古典的なドルーデの理論が提案され、一定の成功を収めましたが、励起状態の原子に対する説明には不十分でした。クラマースは、励起準位からの光の放出を考慮することで、この問題を解決し、より正確な分極率の公式を提案しました。その後、ハイゼンベルクとの共同研究により、前期量子論の枠組みを用いて、クラマース・ハイゼンベルクの分散式が確立されました。さらに、ディラックによる量子力学的証明や、プラチェクによる近似式（プラチェク近似）の提案など、多くの研究を経て、現代の光散乱理論の基礎となっています。

まとめ

クラマース・ハイゼンベルクの分散式は、光と物質の相互作用を記述する基本的な公式であり、光散乱現象の理解に不可欠です。その導出には量子力学、特に時間依存摂動論の深い理解が必要ですが、その応用範囲は広く、様々な光学現象の解析に活用されています。本稿では、その概要と歴史的背景を紹介しました。より詳細な理解のためには、量子力学の専門書を参照することをお勧めします。

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